復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案第3章習(xí)題詳解(編輯修改稿)
2025-07-22 19:47 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 內(nèi)解析，故積分與路徑無關(guān)，取從原點(diǎn)沿實(shí)軸到，再?gòu)难貓A周到的曲線作為，則： 13． 設(shè)和為相交于、兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線，它們所圍的區(qū)域分別為與。與的公共部分為。如果在與內(nèi)解析，在、上也解析，證明：。證明：如圖所示，在與內(nèi)解析，在、上也解析，由柯西—古薩基本定理有： 14． 設(shè)為不經(jīng)過與的正向簡(jiǎn)單閉曲線，為不等于零的任何復(fù)數(shù)，試就與跟的不同位置，計(jì)算積分的值。解：分四種情況討論：1） 如果與都在的外部，則在內(nèi)解析，柯西—古薩基本定理有2） 如果與都在的內(nèi)部，由柯西積分公式有3） 如果在的內(nèi)部，都在的外部，則在內(nèi)解析，由柯西積分公式有4） 如果在的外部，都在的內(nèi)部，則在內(nèi)解析，由柯西積分公式有15． 設(shè)與為兩條互不包含，也不相交的正向簡(jiǎn)單閉曲線，證明證明：因?yàn)榕c為兩條互不包含，也不相交，故與只有相離的位置關(guān)系，如圖所所示。1） 當(dāng)在內(nèi)時(shí)，在內(nèi)解析，根據(jù)柯西—古薩基本定理以及柯西積分公式：2） 當(dāng)在內(nèi)時(shí)，在內(nèi)解析，根據(jù)柯西—古薩基本定理以及柯西積分公式：16． 設(shè)函數(shù)在內(nèi)解析，且沿任何圓周：，的積分等于零，問是否必需在處解析？試舉例說明之。解：不一定。例如：在處不解析，但。17． 設(shè)與在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全含于。如果在上所有的點(diǎn)處成立，試證在內(nèi)所有的點(diǎn)處也成立。證明：設(shè)是內(nèi)任意一點(diǎn)，因?yàn)榕c在及內(nèi)解析，由柯西積分公式有： ， 又在上所有的點(diǎn)處成立，故有： 即在內(nèi)所有的點(diǎn)處成立。18． 設(shè)區(qū)域是圓環(huán)域，在內(nèi)解析，以圓環(huán)的中心為中心作正向圓
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