【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (2484281????iizz所以， ?????? ???? )628s i n()628c os (2 4 ?? i)31(8 i???37 問題 給定復(fù)數(shù) z=re i ?，求所有的滿足 ωn=z 的復(fù)數(shù)ω. n z??記, ze ni ?? ??? ? 由設(shè) ??? iinn ree ?有)(2, Zkknrn ????? ????. 復(fù)數(shù)的 方根 當(dāng) z≠0時(shí)，有 n個(gè)不同的 ω值與 相對(duì)應(yīng)，每一 個(gè)這樣的 ω值都稱為 z 的 n次方根， n znkinn erz???2????)2s i n2(c os n kin krn ???? ????)1,2,1,0( ?? nk ?38 當(dāng) k=0， 1， … ， n1時(shí)，可得 n個(gè)不同的根，而 k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn) . 幾何上 ， 的 n個(gè)值是 以原點(diǎn)為中心， 為半 徑的圓周上 n個(gè)等分點(diǎn)， 即它們是內(nèi)接于該圓周 的正 n邊形的 n個(gè)頂點(diǎn) . n znr（見圖）如)3,2,1,0()424s i n424(c os2184???????kkikik?????x y o 0?1?2?3?822i?139 31 8 .?例求? ?? ?? ?? ?? ?33330331332: 8 8 c os si n228 8 c os si n330 , 1 , 20 8 8 c os si n 1 333221 , 8 8 c os si n 233442 8 8 c os si n 1 333kikkikk i ikik i i??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ????????? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ?????????? ? ? ? ? ?????解當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)40 例 2 計(jì)算 i?? 1解： 因?yàn)? ， 1 i? ? ??????? ??? )43s i n()43c os (2 ?? i所以 1 i? ? ? )1,0(2243s i n2243c os24 ??????????????????kkik ???? 即 )83s i n83(c os2402 ?? iw ??)85s i n85(c os2412 ?? iw ??41 區(qū)域 、區(qū)域的概念 鄰域 ? ?? ?0 0 0000( ) : | | ? ( ) : 0 | | .N z z z z zN z z z zz?????? ? ? ??? ? ? ? ?集 合 稱 為 的（ ） 鄰 域 ，而 稱 集 合為 的 去 心 鄰 域CC42 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn) 000000E? E E E E EE? E.zzzzzz若 點(diǎn) 集 的 點(diǎn) 存 在 一 個(gè) 鄰 域 全 含 于 內(nèi) ，則 稱 為 的 內(nèi) 點(diǎn) ；若 點(diǎn) 存 在 一 個(gè) 鄰 域 和 沒 有 任 何 公 共 點(diǎn) ，則 稱 為 的 外 點(diǎn) ；若 點(diǎn) 的 任 一 鄰 域 內(nèi) 既 有 屬 于 的 點(diǎn) ，也 有 不 屬 于 的 點(diǎn) ， 則 稱 為 的 邊 界 點(diǎn)43 E E .E?的 所 有 邊 界 點(diǎn) 組 成 的 點(diǎn) 集 ， 稱 為 的 邊 界記 為 聚點(diǎn)、孤立點(diǎn) 0000E? E ) E ? E? EE E.zzzz設(shè) 是 一 個(gè) 點(diǎn) 集 ， 若 平 面 上 的 一 點(diǎn) （ 不 必 屬于 的 任 意 鄰 域 都 有 的 無(wú) 窮 多 個(gè) 點(diǎn) ， 則 稱為 的 聚 點(diǎn) 或 極 限 點(diǎn) ； 若 屬 于 ， 但 非 的聚 點(diǎn) ， 則 稱 為 的 孤 立 點(diǎn)44 開集、閉集 若點(diǎn)集 E的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱 E為開集； 若點(diǎn)集 E的每個(gè)聚點(diǎn)皆屬于 E，則稱 E為閉集 . 45 區(qū)域、閉域 平面點(diǎn)集 D稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足下列兩個(gè)條件： 1） D是一個(gè)開集； 2） D是連通的，就是說 D中任意兩點(diǎn)都可以用完全屬于 D的一條折線連接起來(lái) . 區(qū)域加上它的邊界稱為閉域。 有界集、無(wú)界集 若有正數(shù) M，對(duì)于點(diǎn)集 E內(nèi)的任意點(diǎn) ，都有 ，即若 E全含于一圓之內(nèi)，則稱 E為有界集，否則稱 E為無(wú)界集 . zMz ?||46 例 1 集合 為一個(gè)垂直帶形 ， 它是一個(gè)無(wú)界區(qū)域 ， 其 邊界為兩條直線： { | 1 R e 1 }zz? ? ?R e 1z ?? R e 1z ?x y o 47 例 2 集合 為 一角形 ， 它是一個(gè)無(wú)界區(qū)域 ， 其邊界為 半射線 . }3)a rg (2|{ ??? izz例 3 集合 為一個(gè)圓環(huán) ， 它是一個(gè)有界區(qū)域 ， 其邊界 為圓 . }3||2|{ ??? izz48 1. 簡(jiǎn)單曲線（ Jordan曲線 ) ()( ) ,()( ) ( ) [ , ]x x ta t by y tx t y t a b???????平 面 上 一 條 連 續(xù) 曲 線 可 表 示 為 ：其 中 和 是 上 連 續(xù) 的 實(shí) 函 數(shù) .令 z(t)=x(t)+iy(t) a≤t≤b 。 則曲線方程可記為： z=z(t)， a≤t≤b 2239。( ) 39。( ) [ , ] [ 39。( ) ] [ 39。( ) ] 0.x t y t C a b x t y t? ? ?若 、 且則 稱 曲 線 為 光 滑該 的49 有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線 . 重點(diǎn) 設(shè)連續(xù)曲線 C： z=z(t)， a≤t≤b， 對(duì)于 t1∈ (a， b), t2 ∈ [a, b],當(dāng) t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱 z(t1)為曲線 C的重點(diǎn)。 50 定義 稱 沒有重點(diǎn) 的連續(xù)曲線 C為簡(jiǎn)單曲線或 Jordan曲線 。若簡(jiǎn)單曲線 C 滿足 z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線 C是簡(jiǎn)單 閉 曲線或 Jordan閉 曲線 。 z(a)=z(b) 簡(jiǎn)單閉曲線 z(t1)=z(t2) 不是簡(jiǎn)單閉曲線 51 簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì) (Jordan定理 ) 任一條簡(jiǎn)單閉曲線 C： z=z(t)， t∈ [a， b]，把復(fù) 平面唯一地分成三個(gè)點(diǎn)集，具有如下性質(zhì) 彼此不相交 。 I(C)一個(gè)是有界區(qū)域，稱為 C的內(nèi)部； E(C)一個(gè)是無(wú)界區(qū)域，稱為 C的外部； 若簡(jiǎn)單折線Ｐ的一個(gè)端點(diǎn)屬于 I(C) ，而另一個(gè) 端點(diǎn)屬于 E(C)則Ｐ必與Ｃ有交點(diǎn) . 52 2. 單連通域與多連通域 z(a)=z(b) C 內(nèi)部 外部 邊界 定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域 D，如果 D內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的 內(nèi)部總在 D內(nèi)，就稱 D為單連通 域；非單連通域稱為多連通域 . 53 例如 |z|R（ R0）是單連通的； 0≤r|z|R是多連通的 . 單連通域 多連通域 多連通域 單連通域 54 復(fù)變函數(shù) 復(fù)變函數(shù)的定義 定義 ).(, zfwzwivuwEzfiyxzE???????記作）的函數(shù)（簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù)是復(fù)變數(shù)則稱復(fù)變數(shù)與之對(duì)應(yīng)就有一個(gè)或幾個(gè)使得存在法則的非空集合是一個(gè)復(fù)數(shù)設(shè)() ( )E z w f zE z w f z??中 每 一 個(gè) 則 單 數(shù)中 存 在 個(gè) 則 數(shù)若 一 值 ， 是 值 函 。多 值 ， 是 多 值 函 .今 后 無(wú) 特 別 聲 明 ， 所 討 論 的 函 數(shù) 均 為 單 值 函 數(shù) .55 面區(qū)域（定義域）的定義集合，常常是平— )( zfE函數(shù)值集合—},)({* GzzfwwE ???( , ) 。