復(fù)變函數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-21 04:10 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 15 0 ,2 ??????yuxxuxyvyxv?????? ,由于上面的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的，但僅 當(dāng) x = y = 0時(shí)滿足 C－ R方程，所以函數(shù)僅 在 z = 0 處可導(dǎo)，在復(fù)平面處處不解析 . xvyuyvxu??????????? ,xyxzzzf i)R e()()2( 2 ???xyvxu ?? ,2得16 yyxvyyxu xx s i ne),(,co se),( ??yyuyxu xxs i ne ,c o se ???????yyvyxv xxc o se ,s i ne ??????)R(C . , 方程從而xvyuyvxu???????????由于上面的四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，所以在復(fù)平 面內(nèi)處處可導(dǎo)，處處解析，其導(dǎo)數(shù) : ).s i ni( c o see)()3( yyzf xz ???.e)s i ni( c o sei)( zx yyxvxuzf ??????????17 ?例 )(i)( 2222 yd x ycxbya x yxzf ??????求 a, b, c, d 使 f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析 . ?解 由于 xvyuyvxu??????????? ,要使byaxyuayxxu2 ,2 ????????.2 ,2 ydxyvdycxxv????????18 .2,1,1,2 ?????? dcba得ydxayx 22 ???只須byaxdycx 22 ????00ii)( .)()( ???????????????????????????yvxvyuxuyuyvxvxuzfDzfDzf故因?yàn)樽C明內(nèi)為一常數(shù)在處處為零，則在區(qū)域若?例 19 ?小結(jié) f(z) = u+iv 在區(qū)域 D內(nèi)解析的判定 ?求出 u與 v的一階偏導(dǎo)數(shù) , 判別它們?cè)?D 內(nèi)是否連續(xù)且滿足 C－ R方程 。 若是 , 則 f(z)在 D內(nèi)是解析函數(shù) . ?若 f(z) 除變量外 , 形式上與實(shí)函數(shù)相同 (不含復(fù)數(shù)的專用記號(hào) ), 可以直接求導(dǎo) . 若在 D內(nèi)導(dǎo)數(shù)處處存在，則在 D內(nèi)解析 . .)(是常數(shù)內(nèi)在常數(shù)，因而常數(shù)，所以 Dzfvu ??20 第三節(jié) 初等函數(shù) ?本節(jié)將把實(shí)變函數(shù)中的一些常用的初等 函數(shù)推廣到復(fù)變量的初等函數(shù)，研究這 些初等函數(shù)的性質(zhì)和它們的解析性 . ?指數(shù)函數(shù) ?設(shè)復(fù)數(shù) z = x + iy，則定義指數(shù)函數(shù)為 ).s i ni( c o seee i yyw xyxz ???? ?21 ?指數(shù)函數(shù)有下列性質(zhì)： ?w = ez在整個(gè)復(fù)平面上解析 , 且 (ez)? = ez. 0es i nic o seee i ????? ? xxyxz yyπ2)e(A rg kyz ???模與輻角 2121 eee zzzz ???乘法 ?w = ez 是以 2k? i為周期的函數(shù) . zkzkz eeee iπ2
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