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復變函數與積分變北京郵電大學課后的習題答案(編輯修改稿)

2024-07-15 08:23 本頁面
 

【文章內容簡介】 設Z在C內,則f(z)=0,即故有:習題四1. 復級數與都發(fā)散,?為什么?.反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.,是絕對收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1) 因為發(fā)散,所以發(fā)散(2)發(fā)散 又因為所以發(fā)散(3) 發(fā)散,又因為收斂,所以不絕對收斂.(4) 因為所以級數不絕對收斂.又因為當n=2k時, 級數化為收斂當n=2k+1時, 級數化為也收斂所以原級數條件收斂(5) 其中 發(fā)散,收斂所以原級數發(fā)散.:若,且和收斂,則級數絕對收斂.證明:設因為和收斂所以收斂又因為,所以且當n充分大時, 所以收斂而收斂,收斂所以收斂,從而級數絕對收斂.解 因為部分和,所以,不存在.當而時(即),cosnθ和sinnθ都沒有極限,所以也不收斂..故當和時, 收斂.=0處收斂而在z=3處發(fā)散.解: 設,則當時,級數收斂,時發(fā)散.若在z=0處收斂,則若在z=3處發(fā)散, 則顯然矛盾,所以冪級數不能在z=0處收斂而在z=3處發(fā)散?為什么?(1)每一個冪級數在它的收斂圓周上處處收斂.(2) 每一個冪級數的和函數在它的收斂圓內可能有奇點.答: (1) 不正確,因為冪級數在它的收斂圓周上可能收斂,也可能發(fā)散.(2) 不正確,因為收斂的冪級數的和函數在收斂圓周內是解析的.,求的收斂半徑。解: 因為所以 :若冪級數的 系數滿足,則(1)當時, (2) 當時, (3) 當時, 證明:考慮正項級數由于,若,由正項級數的根值判別法知,當,即,收斂。當,即,不能趨于零,.當時, ,級數收斂且.若,對當充分大時,必有不能趨于零,,并寫出收斂圓周。(1) (2) (3) (4) 解: (1)收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級數收斂,則級數絕對收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時絕對收斂,收斂半徑收斂圓周.(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項積分性質,有:所以于是有:(2) 令:故R=∞, 由逐項求導性質由此得到即有微分方程故有:, A, B待定。所以 ,而發(fā)散,證明的收斂半徑為1證明:因為級數收斂設若的收斂半徑為1則現用反證法證明若則,有,即收斂,與條件矛盾。若則,從而在單位圓上等于,是收斂的,這與收斂半徑的概念矛盾。綜上述可知,必有,所以,證明級數對于所有滿足點都發(fā)散.證明:不妨設當時,在處收斂則對,絕對收斂,則在點處收斂所以矛盾,從而在處發(fā)散.,(到項),并指出其收斂半徑.解:因為奇點為所以又于是,有展開式,(到項)解:為的奇點,所以收斂半徑又于是,在處的泰勒級數為 ,并指出其收斂性.(1) 分別在和處 (2) 在處(3) 在處 (4) 在處 (5) 在處 解 (1)(2) (3) (4) (5)因為從沿負實軸不解析所以,收斂半徑為R=1,展開式的系數都是實數?答:因為當取實數值時,與的泰勒級數展開式是完全一致的,而在內,的展開式系數都是實數。所以在內,的冪級數展開式的系數是實數..解:函數有奇點與,有三個以為中心的圓環(huán)域,:.解:令則而在內展開式為所以,代入可得,并根據運算做出如下結果因為,所以有結果你認為正確嗎?為什么?答:不正確,因為要求而要求所以,在不同區(qū)域內: 用z的冪表示的羅朗級數展開式中的系數為證明:因為和是的奇點,所以在內,的羅朗級數為其中其中C為內任一條繞原點的簡單曲線.22. 是函數的孤立奇點嗎?為什么?解: 因為的奇點有所以在的任意去心鄰域,總包括奇點,當時,z=0。從而不是的孤立奇點.23. 用級數展開法指出函數在處零點的級. 解:故z=0為f(z)的15級零點24. 判斷是否為下列函數的孤立奇點,并確定奇點的類型:⑴?。弧  、啤〗? 是的孤立奇點因為所以是的本性奇點.(2)因為所以是的可去奇點.25. 下列函數有些什么奇點?如果是極點,指出其點:⑴  ⑵ ⑶ 解: (1)所以是奇點,是二級極點.解: (2) 是奇點,是一級極點,0是二級極點.解: (3) 是的二級零點而是的一級零點, 是的一級零點所以是的二級極點, 是的一級極點.26. 判定下列各函數的什么奇點?⑴  ⑵ ⑶ 解: (1)當時, 所以, 是的可去奇點.(2)因為所以, 是的本性奇點.(3) 當時, 所以, 是的可去奇點.27. 函數在處有一個二級極點,但根據下面羅朗展開式:    .我們得到“又是的本性奇點”,這兩個結果哪一個是正確的?為什么?解: 不對, z=1是f(z)的二級極點,在內的羅朗展開式為,求積分的值(1) (2)解:(1)先將展開為羅朗級數,得而 =3在內,,故(2)在內處處解析,羅朗展開式為而=3在內,,故習題五1. 求下列函數的留數.(1)在z=0處.解:在0|z|+∞的羅朗展開式為∴(2)在z=1處.解:在0| +∞的羅朗展開式為∴.2. 利用各種方法計算f(z)在有限孤立奇點處的留數.(1)解:的有限孤立奇點處有z=0,z=2.其中z=0為二級極點z=2為一級極點.∴ 3. 利用羅朗展開式求函數在∞處的留數.解: ∴從而5. 計算下列積分.(1),n為正整
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