復(fù)變函數(shù)與積分變北京郵電大學(xué)課后的習(xí)題答案(文件)
【正文】 y，x0，0y , .則故將半帶形區(qū)域Re(z)0,0Im(z), 映為|w|1, ().17. 求將單位圓的外部|z|1保形映射為全平面除去線段1Re(w)1,Im(w)=0的映射.解：先用映射將|z|1映為|w1|1,再用分式線性映射.將|w1|1映為上半平面Im(w2)0, 然后用冪函數(shù)映為有割痕為正實軸的全平面，最后用分式線性映射將區(qū)域映為有割痕[1,1]的全平面.故.18. 求出將割去負(fù)實軸,Im(z)=0的帶形區(qū)域映射為半帶形區(qū)域,Re(w)0的映射.解：用將區(qū)域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)0；再用將半平面映為有割痕(,1]的單位圓外域；又用將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)部的上半平面；再用將區(qū)域映為半帶形0Im(w4),Re(w4)0；最后用映為所求區(qū)域，故.19. 求將Im(z)1去掉單位圓|z|1保形映射為上半平面Im(w)0的映射.解：略.20. 映射將半帶形區(qū)域0Re(z),Im(z)0保形映射為平面上的什么區(qū)域.解：因為 可以分解為w1=iz ，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以（1） w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0Im(w1),Re(w1)0.（2） 將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|1,Im(w2)0.（3） 將區(qū)域映為下半平面Im(w)0.習(xí)題 七：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，則有其中當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時，則有其中證明：因為其中為f(t)的傅里葉變換當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故 有為奇數(shù)。 (2) |z|=2。1,177。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。解： 因為所以 ：若冪級數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時, (2) 當(dāng)時, (3) 當(dāng)時, 證明：考慮正項級數(shù)由于，若，由正項級數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4) Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因為f(z)解析，由CR方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5. |f(z)|=常數(shù).證明：因為|f(z)|=C，對C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z) 0,但，即u2+v2=C2則兩邊對x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有利用CR條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6) argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得 CR條件→ 解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8. 設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因為f(z)解析，從而滿足CR條件.所以.9. 試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1) f(z)=x3+3x2yi3xy2y3i證明：u(x,y)=x33xy2, v(x,y)=3x2yy3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足CR方程，處處可導(dǎo)，處處解析..(2) .證明：處處可微，且所以, 所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10. 設(shè)求證：(1) f(z)在z=0處連續(xù)． (2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．證明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0處連續(xù)．(2)考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時，z=iy，有．當(dāng)z沿實軸趨向于零時，z=x，有它們分別為∴∴滿足CR條件．(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時，有∴不存在．即f(z)在z=0處不可導(dǎo)．11. 設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析．證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因為f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析．所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足CR方程，即．，得 故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足CR條件從而在D1內(nèi)解析13. 計算下列各值(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 設(shè)z沿通過原點的放射線趨于∞點，試討論f(z)=z+ez的極限．解：令z=reiθ， 對于θ，z→∞時，r→∞． 故． 所以． 15. 計算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性．解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實軸及原點外處處連續(xù)．設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微．故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．f(z)在復(fù)平面除原點及負(fù)實軸外處處連續(xù)．17. 計算下列各值．(1) (2)(3)18. 計算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2．解：(2)解： 即(3)解： 即(4)解：．20. 若z=x+iy，求證(1) sinz=sinxchy+icosx?shy證明：(2)cosz=cosx?chyisinx?shy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明： (4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明： 21. 證明當(dāng)y→∞時，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無窮大．證明： ∴ 而 當(dāng)y→+∞時，ey→0，ey→+∞有|sinz|→∞． 當(dāng)y→∞時，ey→+∞，ey→0有|sinz|→∞．同理得所以當(dāng)y→∞時有|cosz|→∞．習(xí)題三1. 計算積分,其中C為從原點到點1+i的直線段.解 設(shè)直線段的方程為,則
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