復(fù)變函數(shù)與積分變北京郵電大學(xué)課后的習(xí)題答案(存儲版)
【正文】 題的證明已經(jīng)證明了．下面證． ∵ ．從而得證． ∴幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊的平方的和．①解：其中．②解：其中． ③解：④解：. ∴⑤解：解：∵． ∴：(1)i的三次根；(2)1的三次根；(3) 的平方根.⑴i的三次根．解：∴． ⑵1的三次根解： ∴ ⑶的平方根．解： ∴ ∴ ．. 證明：證明：∵ ∴，即． ∴又∵n≥2． ∴z≠1 從而,.解：如圖所示． 因?yàn)?{z: =0}表示通過點(diǎn)a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA⊥．過C作直線平行，則有∠BCD=β，∠ACB=90176。解：設(shè)z=x+yi，則有顯然當(dāng)取不同的值時(shí)f(z)的極限不同所以極限不存在.（3） ；解：=.（4） .解：因?yàn)樗?4. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) 解：因?yàn)?若令y=kx,則,因?yàn)楫?dāng)k取不同值時(shí)，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2) 解：因?yàn)?所以所以f(z)在整個(gè)z平面連續(xù).5. 下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1) (n為正整數(shù))；解：因?yàn)閚為正整數(shù)，所以f(z)在整個(gè)z平面上可導(dǎo)..(2) .解：因?yàn)閒(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3) .解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4) .解：因?yàn)?所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6. 試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1) 。解： 因?yàn)樗?：若冪級數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), (3) 當(dāng)時(shí), 證明：考慮正項(xiàng)級數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。1,177。(3) 半帶形區(qū)域.解：（1） 令z=x+iy, Re(z)=C1, z=C1+iy, Im(z)=C2,則z=x+iC2故將直線Re(z)映成圓周；直線Im(z)=C2映為射線.（2） 令z=x+iy，,則故將帶形區(qū)域映為的張角為的角形區(qū)域.（3） 令z=x+iy，x0，0y , .則故將半帶形區(qū)域Re(z)0,0Im(z), 映為|w|1, ().17. 求將單位圓的外部|z|1保形映射為全平面除去線段1Re(w)1,Im(w)=0的映射.解：先用映射將|z|1映為|w1|1,再用分式線性映射.將|w1|1映為上半平面Im(w2)0, 然后用冪函數(shù)映為有割痕為正實(shí)軸的全平面，最后用分式線性映射將區(qū)域映為有割痕[1,1]的全平面.故.18. 求出將割去負(fù)實(shí)軸,Im(z)=0的帶形區(qū)域映射為半帶形區(qū)域,Re(w)0的映射.解：用將區(qū)域映為有割痕(0,1)的右半平面Re(w1)0；再用將半平面映為有割痕(,1]的單位圓外域；又用將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)部的上半平面；再用將區(qū)域映為半帶形0Im(w4),Re(w4)0；最后用映為所求區(qū)域，故.19. 求將Im(z)1去掉單位圓|z|1保形映射為上半平面Im(w)0的映射.解：略.20. 映射將半帶形區(qū)域0Re(z),Im(z)0保形映射為平面上的什么區(qū)域.解：因?yàn)? 可以分解為w1=iz ，由于在所給區(qū)域單葉解析，所以（1） w1=iz將半帶域旋轉(zhuǎn)，映為0Im(w1),Re(w1)0.（2） 將區(qū)域映為單位圓的上半圓內(nèi)部|w2|1,Im(w2)0.（3） 將區(qū)域映為下半平面Im(w)0.習(xí)題 七：如果f(t)滿足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，則有其中當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，則有其中證明：因?yàn)槠渲袨閒(t)的傅里葉變換當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故 有為奇數(shù)。 (2) f(1)=1, f(i)= .解：將上半平面Im(z)0, 映為單位圓|w|1的一般分式線性映射為w=k(Im()0).(1) 由f(i)=0得=i，又由arg,即,，得，所以.(2) 由f(1)=1,得k=；由f(i)= ,得k=聯(lián)立解得.12. 求將|z|1映射成|w|1的分式線性變換w=f(z)，并滿足條件：(1) f()=0, f(1)=1. (2) f()=0, , (3) f(a)=a, .解：將單位圓|z|1映成單位圓|w|1的分式線性映射，為 , ||1.(1) 由f()=0，(1)=1，知.故.(2) 由f()=0，知，又，于是 .(3) 先求，使z=a，,且|z|1映成||1.則可知 再求w=g()，使=0w=a, ,且||1映成|w|1.先求其反函數(shù),它使|w|1映為||1,w=a映為=0，且,則 .因此，所求w由等式給出..13. 求將頂點(diǎn)在0，1，i的三角形式的內(nèi)部映射為頂點(diǎn)依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射.解：直接用交比不變性公式即可求得∶=∶.=..14. 求出將圓環(huán)域2|z|5映射為圓環(huán)域4|w|10且使f(5)=4的分式線性映射.解：因?yàn)閦=5,5,2,2映為w=4,4,10,10,由交比不變性，有∶=∶故w=f(z)應(yīng)為∶=∶即 =.討論求得映射是否合乎要求，由于w=f(z)將|z|=2映為|w|=10，且將z=5映為w=|z|2映為|w|=f(z)將|z|=5映為|w|=4，將z=2映為w=10，所以將|z|5映為|w|4，由此確認(rèn)，此函數(shù)合乎要求.？解：略.16. 映射w=ez將下列區(qū)域映為什么圖形.(1) 直線網(wǎng)Re(z)=C1,Im(z)=C2。所以在內(nèi)，的冪級數(shù)展開式的系數(shù)是實(shí)數(shù)..解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,：.解:令則而在內(nèi)展開式為所以,代入可得,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果因?yàn)?所以有結(jié)果
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