復(fù)變函數(shù)與積分變北京郵電大學(xué)課后的習(xí)題答案-全文預(yù)覽
【正文】 . 故 2. 計算積分，其中積分路徑C為(1) 從點0到點1+i的直線段。解：設(shè)z=x+yi，則有顯然當(dāng)取不同的值時f(z)的極限不同所以極限不存在.（3） ；解：=.（4） .解：因為所以.4. 討論下列函數(shù)的連續(xù)性：(1) 解：因為,若令y=kx,則,因為當(dāng)k取不同值時，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0處極限不存在.從而f(z)在z=0處不連續(xù)，除z=0外連續(xù).(2) 解：因為,所以所以f(z)在整個z平面連續(xù).5. 下列函數(shù)在何處求導(dǎo)？并求其導(dǎo)數(shù).(1) (n為正整數(shù))；解：因為n為正整數(shù)，所以f(z)在整個z平面上可導(dǎo)..(2) .解：因為f(z)為有理函數(shù)，所以f(z)在處不可導(dǎo).從而f(z)除外可導(dǎo).(3) .解：f(z)除外處處可導(dǎo)，且.(4) .解：因為.所以f(z)除z=0外處處可導(dǎo)，且.6. 試判斷下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性.(1) 。（4）、Re(z)Imz．解：表示直線y=x的右下半平面Imz1，且|z|2．解：表示圓盤內(nèi)的一弓形域。證明下列不等式． 并給出最后一個等式的幾何解釋．證明：在上面第五題的證明已經(jīng)證明了．下面證． ∵ ．從而得證． ∴幾何意義：平行四邊形兩對角線平方的和等于各邊的平方的和．①解：其中．②解：其中． ③解：④解：. ∴⑤解：解：∵． ∴：(1)i的三次根；(2)1的三次根；(3) 的平方根.⑴i的三次根．解：∴． ⑵1的三次根解： ∴ ⑶的平方根．解： ∴ ∴ ．. 證明：證明：∵ ∴，即． ∴又∵n≥2． ∴z≠1 從而,.解：如圖所示． 因為={z: =0}表示通過點a且方向與b同向的直線，要使得直線在a處與圓相切，則CA⊥．過C作直線平行，則有∠BCD=β，∠ACB=90176。復(fù)變函數(shù)與積分變換課后答案（北京郵電大學(xué)出版社）復(fù)變函數(shù)與積分變換 （修訂版）主編：馬柏林（復(fù)旦大學(xué)出版社） ——課后習(xí)題答案 38 / 38習(xí)題一1. 用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式a+ib表示下列復(fù)數(shù).①解②解： ③解： ④解： (z=x+iy)R)。證明： 證明∵ ∴．設(shè)z,w∈163。．，并作出草圖.解：(1)、argz=π．表示負(fù)實軸．(2)、|z1|=|z|．表示直線z=．(3)、1|z+i|2解：表示以i為圓心，以1和2為半徑的周圓所組成的圓環(huán)域。解：令,則.于是.(2) 。證明：因為，所以,.所以u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).(2) 解析.證明：設(shè)在D內(nèi)解析,則而f(z)為解析函數(shù)，所以所以即從而v為常數(shù)，u為常數(shù)，即f(z)為常數(shù).(3) Ref(z)=常數(shù).證明：因為Ref(z)為常數(shù)，即u=C1, 因為f(z)解析，CR條件成立。(3) 沿單位圓周|z|=1的右半圓周，從點i到點i.解 (1)設(shè). (2)設(shè). 從到(3) 設(shè). 從到6. 計算積分,其中為.解 ∵在所圍的區(qū)域內(nèi)解析∴從而故7. 計算積分,其中積分路徑為（1） （2） （3） （4）解：（1）在所圍的區(qū)域內(nèi)，只有一個奇點.（2）（3）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含一個奇點,故（4）在所圍的區(qū)域內(nèi)包含兩個奇點,故. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解 (1)(2)(3) (4) (5) (6) 11. 計算積分,其中為(1) (2) (3) 解 (1) (2) (3) 16. 求下列積分的值,其中積分路徑C均為|z|=1. (1) (2) (3) 解 (1) (2)(3) 17. 計算積分,其中積分路徑為(1)中心位于點,半徑為的正向圓周(2) 中心位于點,半徑為的正向圓周解：(1) 內(nèi)包含了奇點∴(2) 內(nèi)包含了奇點,∴19. 驗證下列函數(shù)為調(diào)和函數(shù).解(1) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).(2) 設(shè), ∴ 從而有,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù). ,滿足拉普拉斯方程,從而是調(diào)和函數(shù).:函數(shù),都是調(diào)和函數(shù),但不是解析函數(shù)證明: ∴,從而是調(diào)和函數(shù). ∴,從而是調(diào)和函數(shù).但∵ ∴不滿足CR方程,從而不是解析函數(shù).,求解析函數(shù)(1) (2)解 (1)因為 所以 令y=0,上式變?yōu)閺亩?2) 用線積分法，取（x0,y0）為(1,0)，有由，得C=0,其中各不相同，閉路C不通過,證明積分等于位于C內(nèi)的p(z)的零點的個數(shù).證明: 不妨設(shè)閉路C內(nèi)的零點的個數(shù)為k, 其零點分別為(無界區(qū)域的柯西積分公式): 設(shè)f(z)在閉路C及其外部區(qū)域D內(nèi)解析，且，則其中G為C所圍內(nèi)部區(qū)域.證明：在D內(nèi)任取一點Z，并取充分大的R，作圓CR: ，將C與Z包含在內(nèi)則f(z)在以C及為邊界的區(qū)域內(nèi)解析，依柯西積分公式，有因為 在上解析，且所以，當(dāng)Z在C外部時，有即設(shè)Z在C內(nèi)，則f(z)=0，即故有：習(xí)題四1. 復(fù)級數(shù)與都發(fā)散,?為什么?．反例: 發(fā)散但收斂發(fā)散收斂.,是絕對收斂還是條件收斂?(1) (2) (3) (4) (5) 解 (1)
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