復(fù)變函數(shù)與積分變換冪級數(shù)-全文預(yù)覽
【正文】 ??? ? ??? ? ? ? ???????? ? ??由 于 積 分 變 量 取 在 圓 周 上 點(diǎn) 在 的 內(nèi) 部所 以z0 K z ? 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換1010 00101 ( ) d( ) ( )2 π ()1 ( )( ) d .2 π ()Nnnn KnnnNKff z z zizfzziz??????????????????????????????? ???由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式 ,上式可寫成 ()1000010()( ) ( ) ( )!1 ( )( ) ( )2 π ()nNnNnnN nnNKfzf z z z R znfR z z z diz????????? ? ?????????????其 中z0 K z ? 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換z0 K z ? ()000l im ( ) 0 ,()( ) ( )!NNnnnR z Kfzf z z zn????????如 果 能 證 明 在 內(nèi) 成 立 則在 K內(nèi)成立 , 即 f (z)可在 K內(nèi) 用冪級數(shù)表達(dá) . 000zzzzqzr??????令 ，q與積分變量 z無關(guān) , 且 0?q1. 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換 K含于 D, f (z) 在 D內(nèi)解析 , 在 K上連續(xù) , 在 K上有界 , 因此在 K上存在正實(shí)數(shù) M 使 | f (z) | ? M. 01π2π21d|||)(|π21d)()()(π21|)(|000010?? ???????????????????????????????? ?? ?NNNnnK NnnK NnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzR?????復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換因此 , 下面的公式在 K內(nèi)成立 : ()000()( ) ( )!nnnfzf z z zn?????稱該等式為 f (z)在 z0點(diǎn) 的泰勒展開式 , 它右端的級數(shù)稱為 f (z)在 z0處的泰勒級數(shù) . 圓周 K的半徑可以任意增大 , 只要 K在 D內(nèi) . 所以 ,如果 z0到 D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為 d,則 f(z)在 z0點(diǎn)的泰勒展開式在圓域 |zz0|d 內(nèi)成立 . 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換定理 (泰勒展開定理 ) 設(shè) f(z)在區(qū)域 D內(nèi)解析 ,z0為D內(nèi)的一點(diǎn) , d為 z0到 D的邊界上各點(diǎn)的最短距離 ,則當(dāng) |zz0|d 時(shí) , 00()0( ) ( )1, ( ) , 0 , 1 , 2 , .!nnnnnf z c z zc f z nn???????成 立 其 中 注 ：如果 f (z)在 z0解析 ,則使 f(z)在 z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑 R 等于從 z0到 f(z)的距 z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a 的距離 , 即 R=|az0|. 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換y z0 a x 任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù) , 因而是 唯一 的 . 利用泰勒展開式 , 我們可以直接通過計(jì)算系數(shù) : ),2,1,0()(!1 0)( ??? nzfnc nn把 f (z)在 z0點(diǎn)展開成冪級數(shù) , 稱此為 直接展開法 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform
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