復(fù)變函數(shù)與積分變北京郵電大學(xué)課后的習(xí)題答案-文庫吧資料
2025-06-24 08:23本頁面
【正文】 。 (2) |z|=2。(n1))一級極點(diǎn)由于∴(2) c:|z|=2取正向．解：因?yàn)樵赾內(nèi)有z=1，z=i兩個(gè)奇點(diǎn)．所以6. 計(jì)算下列積分．(1)因被積函數(shù)為θ的偶函數(shù)，所以令則有設(shè) 則被積函數(shù)在|z|=1內(nèi)只有一個(gè)簡單極點(diǎn)但所以又因?yàn)椤?2) ，|a|1．解：令 令z=eiθ．，則得(3)，a0，b0．解：令，被積函數(shù)R(z)在上半平面有一級極點(diǎn)z=ia和ib．故（4）. ，a0．解：令，則z=177。1,177。所以在內(nèi)，的冪級數(shù)展開式的系數(shù)是實(shí)數(shù)..解:函數(shù)有奇點(diǎn)與,有三個(gè)以為中心的圓環(huán)域,：.解:令則而在內(nèi)展開式為所以,代入可得,并根據(jù)運(yùn)算做出如下結(jié)果因?yàn)?所以有結(jié)果你認(rèn)為正確嗎?為什么?答:不正確,因?yàn)橐蠖笏?在不同區(qū)域內(nèi): 用z的冪表示的羅朗級數(shù)展開式中的系數(shù)為證明:因?yàn)楹褪堑钠纥c(diǎn)，所以在內(nèi)，的羅朗級數(shù)為其中其中C為內(nèi)任一條繞原點(diǎn)的簡單曲線.22. 是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)嗎?為什么?解: 因?yàn)榈钠纥c(diǎn)有所以在的任意去心鄰域，總包括奇點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，z=0。若則，從而在單位圓上等于，是收斂的，這與收斂半徑的概念矛盾。(1) (2) (3) (4) 解: (１)收斂圓周(2) 所以收斂圓周(3) 記 由比值法,有要級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為所以收斂圓周(4) 記 所以時(shí)絕對收斂,收斂半徑收斂圓周.(1) (2) 解: (1)故收斂半徑R=1,由逐項(xiàng)積分性質(zhì)，有：所以于是有：(2) 令：故R=∞, 由逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)由此得到即有微分方程故有：， A, B待定。解： 因?yàn)樗?：若冪級數(shù)的 系數(shù)滿足，則(1)當(dāng)時(shí), (2) 當(dāng)時(shí), (3) 當(dāng)時(shí), 證明：考慮正項(xiàng)級數(shù)由于，若，由正項(xiàng)級數(shù)的根值判別法知，當(dāng)，即，收斂。(2) 沿單位圓周|z|=1的左半圓周，從點(diǎn)i到點(diǎn)i。故即u=C2從而f(z)為常數(shù).(4) Imf(z)=常數(shù).證明：與（3）類似，由v=C1得因?yàn)閒(z)解析，由CR方程得,即u=C2所以f(z)為常數(shù).5. |f(z)|=常數(shù).證明：因?yàn)閨f(z)|=C，對C進(jìn)行討論.若C=0，則u=0,v=0,f(z)=0為常數(shù).若C0，則f(z) 0,但，即u2+v2=C2則兩邊對x,y分別求偏導(dǎo)數(shù)，有利用CR條件，由于f(z)在D內(nèi)解析，有所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)為常數(shù).(6) argf(z)=常數(shù).證明：argf(z)=常數(shù)，即,于是得 CR條件→ 解得，即u,v為常數(shù)，于是f(z)為常數(shù).8. 設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值.解：因?yàn)閒(z)解析，從而滿足CR條件.所以.9. 試證下列函數(shù)在z平面上解析，并求其導(dǎo)數(shù).(1) f(z)=x3+3x2yi3xy2y3i證明：u(x,y)=x33xy2, v(x,y)=3x2yy3在全平面可微,且所以f(z)在全平面上滿足CR方程，處處可導(dǎo)，處處解析..(2) .證明：處處可微，且所以, 所以f(z)處處可導(dǎo)，處處解析.10. 設(shè)求證：(1) f(z)在z=0處連續(xù)． (2)f(z)在z=0處滿足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．證明.(1)∵而∵∴∴同理∴∴f(z)在z=0處連續(xù)．(2)考察極限當(dāng)z沿虛軸趨向于零時(shí)，z=iy，有．當(dāng)z沿實(shí)軸趨向于零時(shí)，z=x，有它們分別為∴∴滿足CR條件．(3)當(dāng)z沿y=x趨向于零時(shí)，有∴不存在．即f(z)在z=0處不可導(dǎo)．11. 設(shè)區(qū)域D位于上半平面，D1是D關(guān)于x軸的對稱區(qū)域，若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，求證在區(qū)域D1內(nèi)解析．證明：設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因?yàn)閒(z)在區(qū)域D內(nèi)解析．所以u(x,y),v(x,y)在D內(nèi)可微且滿足CR方程，即．，得 故φ(x,y),ψ(x,y)在D1內(nèi)可微且滿足CR條件從而在D1內(nèi)解析13. 計(jì)算下列各值(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)(2)(3)(4)14. 設(shè)z沿通過原點(diǎn)的放射線趨于∞點(diǎn)，試討論f(z)=z+ez的極限．解：令z=reiθ， 對于θ，z→∞時(shí)，r→∞． 故． 所以． 15. 計(jì)算下列各值．(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)16. 試討論函數(shù)f(z)=|z|+lnz的連續(xù)性與可導(dǎo)性．解：顯然g(z)=|z|在復(fù)平面上連續(xù)，lnz除負(fù)實(shí)軸及原點(diǎn)外處處連續(xù)．設(shè)z=x+iy，在復(fù)平面內(nèi)可微．故g(z)=|z|在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．從而f(x)=|z|+lnz在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)．f(z)在復(fù)平面除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸外處處連續(xù)．17. 計(jì)算下列各值．(1) (2)(3)18. 計(jì)算下列各值(1)(2)(3)(4) (5)(6)19. 求解下列方程(1) sinz=2．解：(2)解： 即(3)解： 即(4)解：．20. 若z=x+iy，求證(1) sinz=sinxchy+icosx?shy證明：(2)cosz=cosx?chyisinx?shy證明：(3)|sinz|2=sin2x+sh2y證明： (4)|cosz|2=cos2x+sh2y證明： 21. 證明當(dāng)y→∞時(shí)，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趨于無窮大．證明： ∴ 而 當(dāng)y→+∞時(shí)，ey→0
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