【正文】 :0 1x ? 所以 1 i 12200 51( i ) ( i ) ( 1 i ) i66x y d z x x d x? ? ? ? ? ? ??? ； 2yx? 的復(fù)參數(shù)方程為 2iz x x?? ， (1 2 i)dz x dx?? ，參數(shù) :0 1x ? 所以 1 i 12 2 200 51( i ) ( i ) ( 1 2 i ) i66x y d z x x x d x? ? ? ? ? ? ??? 計(jì)算積分Czdzz? 的值，其中 C 為正向圓周： (1) 3z? 解：設(shè) 1C 是 C 內(nèi)以被積函數(shù)的奇點(diǎn) 0z? 為圓心的正向圓周，那么 1 1 11 3 2 i= 6 iC C C Cz z z zd z d z d z z d zz z z z z ???? ? ? ? ?? ? ? ? 試用觀察法得出下列積分的值，并說(shuō)明觀察時(shí)所依據(jù)的是 什么？ C 是正向圓周 1z? ： (1) 2C dzz??； (2) 2 23C dzzz???； (3) cosC dzz?； (4) 13C dzz??； (5) zCzedz?； (6) i522Cdzzz? ?? ???? ?? ?? ?? ??． 解： (1) 02C dzz ???，根據(jù)柯西積分定理； (2) 2 023C dzzz ????，根據(jù)柯西積分定理； (3) 0cosC dzz ??，根據(jù)柯西積分定理； (4) 2i13C dzz ????，根據(jù)復(fù)合閉路定理； (5) 0zCze dz??，根據(jù)柯西積分定理； (6) 4ii5 5i22Cdzzz???? ?? ???? ?? ?? ?? ?? ，根據(jù)柯西積分定理及復(fù) 合閉路定理． 沿指定曲線的正向計(jì)算下列積分： (1) 3zCe dzz?? ， : 3 1Cz??； (2) 22C dzza??， :C z a a??； (3) i2 1zCe dzz ?? ， 4: 2i 3Cz??； (4) 3C zdzz??， :2Cz? ； (5) 23( 1)( 1)C dzzz???， :1C z r??； (6) 3 cosC z zdz?， C 為包圍 0z? 的閉曲線； (7) 22( 1)( 4)C dzzz???， 3:2Cz?； (8) sinC zdzz?， :3Cz? ； (9) 2cos2Cz dzz ?????????， :3Cz? ； (10) 5zCedzz? ， :1Cz? ． 解： (1) 332 i 2 i3z zzCe d z e ez ???? ? ???； (2) 22 12 i iC zadzz a z a a?? ??? ? ? ????； (3) ii2 i2i1izzC zeedzz z e???? ? ???? ； (4) 03C zdzz ???； (5) 23 0( 1)( 1)C dzzz ????； (6) 3 cos 0C z zdz ??； (7) 2 2 2 222ii1( 1 ) ( 4) 2 i ( i ) ( 4) ( i ) ( 4)1 1 1 02 i 4 4C C Czzdz dz dzz z z z z zzz ? ? ????????? ? ? ? ? ??????? ? ???????? ? ?； (8) 0si n 2 i si n 0zC z d z zz ? ?? ? ??； (9) ? ?22c os 2 si n 21!2C zzidz z iz ?? ?? ?? ? ? ? ????????? ； (10) 5 02( 5 1 ) ! 1 2z zC ze i id z ez ???? ? ??? ． 2證明： 22u x y??和22yv xy? ?都是調(diào)和函數(shù)，但是 iuv? 不是解析函數(shù)． 證明：因?yàn)?2u xx? ??， 22 2ux? ??， 2u yy? ???， 22 2uy? ???， 2 2 22()v xyx x y?????， 2 2 32 2 2 362()v x y yx x y?????， 222 2 2()v x yy x y?????， 2 3 22 2 2 326()v y x yy x y?????， 所以 220uuxy????， 220vvxy????，且 xyuv??? ， yxuv???? ． 即 22u x y??和22yv xy? ?都是調(diào)和函數(shù)，但是 iuv? 不是解析函數(shù)． 2由下列各已知調(diào)和函數(shù)求解析函數(shù) ( ) if z u v?? ，并寫(xiě)出 z 的表達(dá)式： (1) 22( ) ( 4 )u x y x xy y? ? ? ?； (2) 22yv xy? ?， (2) 0f ? ； (3) 2( 1)u x y??， (2) if ?? ． 解： (1) 因?yàn)?( ) if z u v?? 是調(diào)和函數(shù)，所以 223 6 3vu x x y yxy??? ? ? ? ? ?， 226 3vu x xy yyx??? ? ? ?． 于是 2 2 2 2 3( 3 6 3 ) ( ) 3 3v x x y y d y g x x y x y y? ? ? ? ? ? ?? ． 那么 2 2 2( ) 6 3 3 6 3v g x x y y x x y yx? ?? ? ? ? ? ? ?? ， 則 3()g x x C?? ? ， 所以 3 2 2 333v x x y x y y C? ? ? ? ? ?， 3 2 2 3 3 2 2 33 2 2 33( ) ( 3 3 ) i ( 3 3 ) i( 1 i ) 3 ( i ) 3 ( i ) ( i ) i( 1 i ) if z x x y x y y x x y x y y Cx x y x y y CzC? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? (2) 2 2 22()v xyx x y?????， 222 2 2()v x yy x y?????． 因?yàn)?( ) if z u v?? 是調(diào)和函數(shù)，所以 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( i ) 1 1( ) i i( ) ( ) ( ) ( i )yx x y x y x yf z v v x y x y x y x y z? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?， 從而 1()f z Cz?? ?． 由 (2) 0f ? 知 12C? ，所以 11() 2fz z??． (3) 因?yàn)?( ) if z u v?? 是調(diào)和函數(shù)，所以 2 ( 1)vu xxy??? ? ? ? ?， 2vuyyx????． 于是 22 ( )v ydy g x y? ? ?? ． 那么 ( ) 2 ( 1)v g x xx? ?? ? ? ?? ， 則 2( ) 2g x x x C? ? ? ?， 所以 222v x x y C? ? ? ? ?， 2222( ) ( 2 2 ) i ( 2 ) ii ( i ) 2( i ) 1 ii ( 1 ) if z x y y x x y Cx y x y CzC? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? 由 (2) if ?? 知 0C? ，所以 2( ) i( 1)f z z? ? ? ． 習(xí)題 4： 下列數(shù)列 ??nz 是否收斂？若收斂，求其極限． (1) 1i1in nz n?? ?； (2) i12nnz?????????； (3) i( 1) 1nnz n? ? ? ?； (4) i2nnze??? ． 解： (1) 222 2 21 i 1 2 i 1 2i1 i 1 1 1n n n n n nz n n n n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，當(dāng) n?? 時(shí)，實(shí)部 221 11 nn? ???，虛部22 01 nn ??，所以 ??nz 收斂于 1? ． (2) ii5122nnnnze???????? ? ? ????????，當(dāng) n?? 時(shí) 5 02n???????? ，那么 0nz ? ，所以 ??nz 收斂于 0． (3) 當(dāng) n?? 時(shí)，實(shí)部 (1)n? 是發(fā)散的，所以 ??nz 發(fā)散． (4) i2 c o s i s in22nn nnze ? ???? ? ?，實(shí)部和虛部都發(fā)散，所以 ??nz 發(fā)散． 判斷下列級(jí)數(shù)的收斂性與絕對(duì)收斂性： (1) 21131inn nn?????????????????； (3) i221nnen?????． 解： (1) 記2131innz nn??? ? ?????，則當(dāng) n?? 時(shí) 1Re ( ) 1 nnzen??? ? ?