復(fù)變函數(shù)與積分變換公式-文庫(kù)吧資料
2025-05-22 03:45本頁(yè)面
【正文】 （十一）冪函數(shù)的泰勒展開(kāi)1. 泰勒展開(kāi)：設(shè)函數(shù)在圓域內(nèi)解析，則在此圓域內(nèi)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) ；并且此展開(kāi)式是唯一的。l 比值法 如果，則收斂半徑；l 根值法 ，則收斂半徑；l 如果，則；說(shuō)明在整個(gè)復(fù)平面上處處收斂；如果，則；說(shuō)明僅在或點(diǎn)收斂；注：若冪級(jí)數(shù)有缺項(xiàng)時(shí)，不能直接套用公式求收斂半徑。2）冪級(jí)數(shù)的收斂域—圓域冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)，絕對(duì)收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。（十）冪級(jí)數(shù)的斂散性1．冪級(jí)數(shù)的概念：表達(dá)式或?yàn)閮缂?jí)數(shù)。2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1）復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂；2）級(jí)數(shù)收斂的必要條件是。 2）線積分法：若已知實(shí)部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無(wú)關(guān)，可選取簡(jiǎn)單路徑（如折線）計(jì)算它，其中與 是解析區(qū)域中的兩點(diǎn)。3．已知解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，求解析函數(shù)的方法。2．解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系l 解析函數(shù)的實(shí)部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，并稱(chēng)虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)。 （是包含的任意正向簡(jiǎn)單閉曲線）8．復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若在區(qū)域內(nèi)處處不解析，用一般積分法2）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，l 是內(nèi)一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則由柯西—古薩定理， l 是內(nèi)的一條非閉曲線，對(duì)應(yīng)曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有3）設(shè)在區(qū)域內(nèi)不解析l 曲線內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)：（在內(nèi)解析）l 曲線內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)：（內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)） 或：（留數(shù)基本定理）l 若被積函數(shù)不能表示成，則須改用第五章留數(shù)定理來(lái)計(jì)算。 柯西積分公式：設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，的內(nèi)部完全屬于，為內(nèi)任意一點(diǎn)，則6．高階導(dǎo)數(shù)公式：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導(dǎo)數(shù)為 其中為的解析區(qū)域內(nèi)圍繞的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于。4．解析函數(shù)沿非閉曲線的積分： 設(shè)在單連域內(nèi)解析，為在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則 說(shuō)明：解析函數(shù)沿非閉曲線的積分與積分路徑無(wú)關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函數(shù)即可。（七）關(guān)于復(fù)變函數(shù)積分的重要定理與結(jié)論1．柯西—古薩基本定理：設(shè)在單連域內(nèi)解析，為內(nèi)任一閉曲線，則
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