復(fù)變函數(shù)與積分變換-文庫吧資料
2025-05-19 07:05本頁面
【正文】 時(shí) , 有 定理 2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商 , 兩個(gè)復(fù)數(shù) 的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差 . ?2 . 乘方與開方運(yùn)算 1）乘方 ? ?c os sinn n in nz r e r n i n? ??? ? ?De Moivre 公式： ? ?c o s sin c o s sinni n i n? ? ? ?? ? ?2 ）開方 : 若滿足， 則稱 w為 z的 n次方根 ， nwz?記為 .nwz?zi A r gwi n A r gn ezew ?2( 0 , 1 , 2 , , 1 )nwzar gz kArg wnknp? ???????????于是 推得 2122c os si n( 0 , 1 , , 1 )ar g z kin nnnz z earg z k arg z krinnknppp??????????????從而 幾何解釋： z1/n的 n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心 , r1/n為半徑的圓 的內(nèi)接正 n邊形的 n個(gè)頂點(diǎn)。iz z i e p?? ? ?1 2,A rgz npp??2 2,2A rg z mp p??解： ? ?1 2 1 222,A rg z z A rg z A rg z kk m n Zpp? ? ? ? ??若取 1,k ?則 ? ?1 , 1 , 。 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 . 復(fù)數(shù)運(yùn)算滿足交換律 ,結(jié)合律和分配律 : 1 . 四則運(yùn)算 加減法與平行四邊形 法則的幾何意義 : 乘、除法的幾何意義 : 111 iz r e ?? 222 iz r e ??12()1 2 1 2 iz z r r e ????, 1 2 1 2 1 21 2 1 2rgz z r r z zA r g z z A z A r g z? ??????, 1z2z12zz?12zz?, 定理 1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積 , 兩個(gè)復(fù) 數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和 . 等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, 的意思是等式的兩 邊都是無限集合 , 兩邊的集合相等 , 即每給定等式左邊 的一個(gè)數(shù) , 就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對應(yīng) , 反之亦然 . 幾何上 z1z2 相當(dāng)于將 z2 的模擴(kuò)大 |z1| 倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 Arg z1 . 0 1 1z2z12zz1r2r12rr1?2?1?12???xy1iz12z例 2：設(shè) 121 , .z z i? ? ?求 ： 1 2 。 z1z2=z2z1 。 132iz ???解： ? ?3 2 2a r g a r c ta n a r c ta n 3 ,1 2 3 3z ppp p p? ? ? ? ? ? ? ? ??2a r g 2 2 , ,3A r g z z k k k Zppp? ? ? ? ?1,rz?? 23 .ize p?167。 與實(shí)數(shù)不同 , 一般說來 , 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小 . 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等 他們的實(shí)部和虛部都相等 特別地， ? : iyxz ??復(fù)數(shù)的表示法 1)點(diǎn)表示 iyxz ??復(fù)數(shù) ( , )X O Y z x y? 平面 上的點(diǎn)y z(x,y) x x 0 y r ?復(fù)平面 實(shí)軸 虛軸 2) 向量表示 復(fù)數(shù) z的輻角 (argument) 記作 Arg z=? . 任何一個(gè)復(fù)數(shù) z?0有無窮多個(gè)幅角 ,將滿足 ?p ?0?p 的 ?0 稱為 Arg z的主值 , 記作 ?0=arg z .則 Arg z=?0+2kp =arg z +2kp (k為任意整數(shù) ) ?復(fù)數(shù)z= x+ iy 矢徑z0 x y x y ? z=x+iy z22z z r x y? ? ? ?復(fù)數(shù) z的模 zx ?與 軸正向的夾角|||||,||||||,||||,|||22zzzzyxzzyzx???????????????????在第三象限在第二象限在第一、四象限zxyzxyzxyz,a r c t a n,a r c t a n,a r c t a na r gpp當(dāng) z = 0 時(shí) , | z | = 0, 而幅角不確定 . arg z可由下列關(guān)系確定 : a r c ta n22 yxpp? ? ?其中說明：當(dāng) z 在第二象限時(shí)， a r g 022 zpp? p ? p? ? ? ? ? ? ? ?ta n ( ) ta n ( ) ta n yx? p p ? ?? ? ? ? ? ? ?a r c ta n yx?p? ? ?a r c ta n .yx?p? ? ? ),( zA r gzr ?? ?)s i n(c o s ?? irz ???irez ? 利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系 : x
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