實變函數第一章答案(編輯修改稿)
2025-07-19 17:17 本頁面
【文章內容簡介】 證明 令, ,.則. 定義: 為:可以驗證: 為一一對應, 即. 又因為, 所以 .7．證明：直線上任意兩個區(qū)間都是對等且具有基數．證明 對任意的 取有限區(qū)間則, 則由定理知, 同理. 故.1．證明：平面上頂點坐標為有理點的一切三角形之集是可數集．證明 因為有理數集是可數集，平面上的三角形由三個頂點所確定，而每個頂點由兩個數決定，故六個數可確定一個三角形，所以中的每個元素由中的六個相互獨立的數所確定，即 所以為可數集.2．證明：由平面上某些兩兩不交的閉圓盤之集最多是可數集．證明 對于任意的, 使得. 因此可得：. 因為與不相交，所以. 故為單射，從而. 3．證明：（1）任何可數集都可表示成兩個不交的可數集之并；（2）任何無限集都可表成可數個兩兩不交的無限集之并．證明 (2) 當可數時，存在雙射. 因為所以 .其中：.又因為且可數，所以可表示成可數個兩兩不交的無限集之并．當不可數時，由于無限，所以存在可數集, 且不可數且無限，從而存在可數集，且無限不可數. 如此下去，可得都可數且不相交，從而. 其中無限且不交.4．證明：可數個不交的非空有限集之并是可數集．5．證明：有限或可數個互不相交的有限集之并最多是可數集．證明 有限個互不相交的有限集之并是有限集；而可數個互不相交的有限集之并最多是可數集.6．證明：單調函數的不連續(xù)點之集至多是可數集．證明 不妨設函數在單調遞增，則在間斷當且僅當.于是，每個間斷點對應一個開區(qū)間.下面證明：若為的兩個不連續(xù)點，則有.
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