【文章內(nèi)容簡介】 方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h 隨ω的變化而變化．211 分析　如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsinθ 提供(式中θ 角為路面傾角)．從而不會對內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓．與其對應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時必須以規(guī)定的速率v0行駛．當(dāng)火車行駛速率v≠v0 時,則會產(chǎn)生兩種情況：如圖所示,如v＞v0 時,外軌將會對車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1 ,以補(bǔ)償原向心力的不足,如v＜v0時,則內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2 ,以抵消多余的向心力,無論哪種情況火車都將對外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓．由此可知,鐵路部門為什么會在每個鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時速,從而確保行車安全．解　(1) 以火車為研究對象,建立如圖所示坐標(biāo)系．據(jù)分析,由牛頓定律有 (1) (2)解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時規(guī)定速率為(2) 當(dāng)v＞v0 時,根據(jù)分析有 (3) (4)解(3)(4)兩式,可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)v＜v0 時,根據(jù)分析有 (5) (6)解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為212 分析　雜技演員(連同摩托車)的運(yùn)動可以看成一個水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動和一個豎直向上勻速直線運(yùn)動的疊加．其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后,相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面．把演員的運(yùn)動速度分解為圖示的v1 和v2 兩個分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運(yùn)動的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運(yùn)動的分速度,其中向心力由筒壁對演員的支持力FN 的水平分量FN2 提供,而豎直分量FN1 則與重力相平衡．如圖(c)所示,其中φ角為摩托車與筒壁所夾角．運(yùn)用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向力．解　設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對象,據(jù)(b)(c)兩圖應(yīng)有 (1) (2) (3) (4)以式(3)代入式(2),得 (5)將式(1)和式(5)代入式(4),可求出圓筒壁對雜技演員的作用力(即支承力)大小為與壁的夾角φ為討論　表演飛車走壁時,演員必須控制好運(yùn)動速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個力學(xué)規(guī)律．213 分析　首先應(yīng)由題圖求得兩個時間段的F(t)函數(shù),進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù),運(yùn)用積分方法求解題目所問,積分時應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩時間段相應(yīng)的時刻相對應(yīng)． 解　由題圖得由牛頓定律可得兩時間段質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為 對0 ＜t ＜5ｓ 時間段,由得 積分后得 再由得 積分后得將t ＝5ｓ 代入,得v5＝30 mｓ1 和x5 ＝ m對5ｓ＜t ＜7ｓ 時間段,用同樣方法有 得 再由 得 x ＝ ＋將t ＝7ｓ代入分別得v7＝40 mｓ1 和　x7 ＝142 m214 分析　這是在變力作用下的動力學(xué)問題．由于力是時間的函數(shù),而加速度a＝dv/dt,這時,動力學(xué)方程就成為速度對時間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v (t)；由速度的定義v＝dx /dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置．　　　　　解　因加速度a＝dv/dt,在直線運(yùn)動中,根據(jù)牛頓運(yùn)動定律有依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件,即t0 ＝0 時v0 ＝ mｓ1 ,運(yùn)用分離變量法對上式積分,得 v＝++又因v＝dx /dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的初始條件：t0 ＝0 時x0 ＝ m,對上式分離變量后積分,有x ＝++ +215 分析　飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動．其水平方向所受制動力F 為變力,且是時間的函數(shù)．在求速率和距離時,可根據(jù)動力學(xué)方程和運(yùn)動學(xué)規(guī)律,采用分離變量法求解．解　以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓運(yùn)動定律及初始條件, 得 因此,飛機(jī)著陸10ｓ后的速率為v ＝30 mｓ1又 故飛機(jī)著陸后10ｓ內(nèi)所滑行的距離 216 分析　該題可以分為兩個過程,入水前是自由落體運(yùn)動,入水后,物體受重力P、浮力F 和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運(yùn)動．雖然物體的受力分析比較簡單,但是,由于變力是速度的函數(shù)(在有些問題中變力是時間、位置的函數(shù)),對這類問題列出動力學(xué)方程并不復(fù)雜,但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動的位置和速度就比較困難了．通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程．這也成了解題過程中的難點(diǎn)．在解方程的過程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定．解　(1) 運(yùn)動員入水前可視為自由落體運(yùn)動,故入水時的速度為運(yùn)動員入水后,由牛頓定律得 P Fｆ F ＝ma由題意P ＝F、Fｆ＝bv2 ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代入上式后得 bv2＝ mv (d v /dy)考慮到初始條件y0 ＝0 時, ,對上式積分,有 (2) 將已知條件b/m ＝ m 1 ,v ＝ 代入上式,則得217 分析　螺旋槳旋轉(zhuǎn)時,葉片上各點(diǎn)的加速度不同,在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉片的質(zhì)量是連續(xù)分布的,在求葉片根部的張力時,可選取葉片上一小段,分析其受力,列出動力學(xué)方程,然后采用積分的方法求解．解　設(shè)葉片根部為原點(diǎn)O,沿葉片背離原點(diǎn)O 的方向?yàn)檎?距原點(diǎn)O 為r處的長為dr一小段葉片,其兩側(cè)對它的拉力分別為FＴ(r)與FＴ(r＋dr)．葉片轉(zhuǎn)動時,該小段葉片作圓周運(yùn)動,由牛頓定律有由于r ＝l 時外側(cè)FＴ ＝0,所以有 上式中取r ＝0,即得葉片根部的張力FＴ0 ＝ 105 N負(fù)號表示張力方向與坐標(biāo)方向相反．218 分析　該題可由牛頓第二定律求解．在取自然坐標(biāo)的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,與其相對應(yīng)的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而與法向加速度an相對應(yīng)的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcosα．由此,可分別列出切向和法向的動力學(xué)方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man ．由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的,因此,需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡便,可轉(zhuǎn)換積分變量． 倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡便．但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力．解　小球在運(yùn)動過程中受到重力P 和圓軌道對它的支持力FN ．取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得 (1) (2)由,得,代入式(1),并根據(jù)小球從點(diǎn)A 運(yùn)動到點(diǎn)C 的始末條件,進(jìn)行積分,有 得 則小球在點(diǎn)C 的角速度為 由式(2)得　　 由此可得小球?qū)A軌道的作用力為 負(fù)號表示F′N 與en 反向． 219 分析　運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動力學(xué)問題．物體在作圓周運(yùn)動的過程中,促使其運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對物體的支持力FN 和環(huán)與物體之間的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小與正壓力FN′成正比,且FN與FN′又是作用力與反作用力,這樣,就可通過它們把切向和法向兩個加速度聯(lián)系起來了,從而可用運(yùn)動學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程．　　　　　　　　解　(1) 設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標(biāo),按牛頓定律,有 由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得取初始條件t ＝0 時v ＝v 0 ,并對上式進(jìn)行積分,有 (2) 當(dāng)物體的速率從v 0 減少到1/2v 0時,由上式可得所需的時間為物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程 220 分析　物體在發(fā)射過程中,同時受到重力和空氣阻力的作用,其合力是速率v 的一次函數(shù),動力學(xué)方程是速率的一階微分方程,求解時,只需采用分離變量的數(shù)學(xué)方法即可．但是,在求解高度時,則必須將時間變量通過速度定義式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解,并注意到物體上升至最大高度時,速率應(yīng)為零．解　(1) 物體在空中受重力mg和空氣阻力Fr ＝kv 作用而減速．由牛頓定律得 (1)根據(jù)始末條件對上式積分,有 (2) 利用的關(guān)系代入式(1),可得分離變量后積分 故 討論　如不考慮空氣阻力,則物體向上作勻減速運(yùn)動．由公式和分別算得t≈≈184 m,均比實(shí)際值略大一些．221 分析　由于空氣對物體的阻力始終與物體運(yùn)動的方向相反,因此,物體在上拋過程中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落過程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向則相反．又因阻力是變力,在解動力學(xué)方程時,需用積分的方法．解　分別對物體上拋、下落時作受力分析,以地面為原點(diǎn),豎直向上為y 軸(如圖所示)．(1) 物體在上拋過程中,根據(jù)牛頓定律有依據(jù)初始條件對上式積分,有 物體到達(dá)最高處時, v ＝0,故有(2) 物體下落過程中,有 對上式積分,有 則 222 分析　該題依然是運(yùn)用動力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問題,求解方法與前兩題相似,只是在解題過程中必須設(shè)法求出阻力系數(shù)k．由于阻力Fr ＝kv2 ,且Fr又與恒力F 的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大小相等時,加速度為零,此時速度達(dá)到最大．因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來．但在求摩托車所走路程時,需對變量作變換．解　設(shè)摩托車沿x 軸正方向運(yùn)動,在牽引力F和阻力Fr 同時作用下,由牛頓定律有 (1)當(dāng)加速度a ＝dv/dt ＝0 時,摩托車的速率最大,因此可得k＝F/vm2 (2)由式(1)和式(2)可得 (3)根據(jù)始末條件對式(3)積分,有 則 又因式(3)中,再利用始末條件對式(3)積分,有 則 223 分析　如圖所示,飛機(jī)觸地后滑行期間受到5 個力作用,其中F1為空氣阻力, F2 為空氣升力, F3 為跑道作用于飛機(jī)的摩擦力,很顯然飛機(jī)是在合外力為變力的情況下作減速運(yùn)動,列出牛頓第二定律方程后,用運(yùn)動學(xué)第二類問題的相關(guān)規(guī)律解題．由于作用于飛機(jī)的合外力為速度v的函數(shù),所求的又是飛機(jī)滑行距離x,因此比較簡便方法是直接對牛頓第二定律方程中的積分變量dt 進(jìn)行代換,將dt 用代替,得到一個有關(guān)v 和x 的微分方程,分離變量后再作積分． 解　取飛機(jī)滑行方向?yàn)閤 的正方向,著陸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,根據(jù)牛頓第二定律有 (1) (2)將式(2)代入式(1),并整理得分離變量并積分,有得飛機(jī)滑行距離 (3)考慮飛機(jī)著陸瞬間有FN＝0 和v＝v0 ,應(yīng)有k2v02 ＝mg,將其代入(3)式,可得飛機(jī)滑行距離x 的另一表達(dá)式討論　如飛機(jī)著陸速度v0＝144 kmh1 ,μ＝,升阻比,可算得飛機(jī)的滑行距離x ＝560 m,設(shè)計(jì)飛機(jī)跑道長度時應(yīng)參照上述計(jì)算結(jié)果．224 分析　如同習(xí)題2 5 分析中指出的那樣,可對木箱加上慣性力F0 后,以車廂為參考系進(jìn)行求解,如圖所示,此時木箱在水平方向受到慣性力和摩擦力作用,圖中a′為木箱相對車廂的加速度．解　由牛頓第二定律和相關(guān)運(yùn)動學(xué)規(guī)律有F0 Fｆ＝ma μmg＝ma′ (1)v′ 2 ＝2a′L (2)聯(lián)立解(1)(2)兩式并代入題給數(shù)據(jù),得木箱撞上車廂擋板時的速度為225 分析　如以加速運(yùn)動的電梯為參考系,則為非慣性系．在非慣性系中應(yīng)用牛頓定律時必須引入慣性力．在通常受力分析的基礎(chǔ)上,加以慣性力后,即可列出牛頓運(yùn)動方程來．解　取如圖(b)所示的坐標(biāo),以電梯為參考系,分別對物體A、B 作受力分析,其中F1 ＝m1a,F2 ＝m2a 分別為作用在物體A、B 上的慣性力．設(shè)ar為物體相對電梯的加速度,根據(jù)牛頓定律有 (1) (2) (3)由上述各式可得 由相對加速度的矢量關(guān)系,可得物體A、B 對地面的加速度值為 a2 的方向向上, a1 的方向由ar 和a 的大小決定．當(dāng)ar ＜a,即m1g m2g 2m2 a＞0 時,a1 的方向向下；反之, a1 的方向向上．226 分析　這類問題可應(yīng)用牛頓定律并采用隔離體法求解．在解題的過程中必須注意：(1) 參考系的選擇．由于牛頓定律只適用于慣性系,可選擇地面為參考系(慣性系)．因地面和斜面都是光滑的,當(dāng)滑塊在斜面上下滑時,三棱柱受到滑塊對它的作用,也將沿地面作加速度為aA 的運(yùn)動,這時,滑塊沿斜面的加速度aBA ,不再是它相對于地面的加速度aB 了．必須注意到它們之間應(yīng)滿足相對加速度的矢量關(guān)系,即aB ＝aA ＋aBA ．若以斜面為參考系(非慣性系),用它求解這類含有相對運(yùn)動的力學(xué)問題是較為方便的．但在非慣性系中,若仍要應(yīng)用牛頓定律,則必須增添一慣性力F,且有F ＝maA ．(2) 坐標(biāo)系的選擇．常取平面直角坐標(biāo),并使其中一坐標(biāo)軸方向與運(yùn)動方向一致,這樣,可使解題簡化．(3) 在分析滑塊與三棱柱之間的正壓力時,要考慮運(yùn)動狀態(tài)的影響,切勿簡單地把它視為滑塊重力在垂直于斜面方向的分力mgcos α,事實(shí)上只有當(dāng)aA ＝0 時,正壓力才等于mgcos α.　　　解1　取地面為參考系,以滑塊B 和三棱柱A 為研究對