【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧原長(zhǎng)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則有又 故有 題232圖 題233圖233 空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，如題233圖所示，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，環(huán)半徑為，初始角速度為．質(zhì)量為的小球，原來(lái)靜置于點(diǎn)，由于微小的干擾，小球向下滑動(dòng)．設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的，問(wèn)小球滑到點(diǎn)與點(diǎn)時(shí)，小球相對(duì)于環(huán)的速率各為多少?解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)，有 ①該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)的速率為，以點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有 ②聯(lián)立①、②兩式，得(2)當(dāng)小球滑至點(diǎn)時(shí)，∵ ∴故由機(jī)械能守恒，有∴ 請(qǐng)讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣龋?xí)題三31 慣性系S′相對(duì)慣性系以速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它們的坐標(biāo)原點(diǎn)與重合時(shí)，==0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測(cè)者觀測(cè)該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標(biāo)系寫(xiě)出各自觀測(cè)的波陣面的方程．解: 由于時(shí)間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變?cè)恚庥嵦?hào)為球面波．波陣面方程為：題31圖32 設(shè)圖34中車(chē)廂上觀測(cè)者測(cè)得前后門(mén)距離為2．試用洛侖茲變換計(jì)算地面上的觀測(cè)者測(cè)到同一光信號(hào)到達(dá)前、后門(mén)的時(shí)間差．解: 設(shè)光訊號(hào)到達(dá)前門(mén)為事件，在車(chē)廂系時(shí)空坐標(biāo)為，在車(chē)站系：光信號(hào)到達(dá)后門(mén)為事件，則在車(chē)廂系坐標(biāo)為，在車(chē)站系：于是 或者 33 慣性系S′相對(duì)另一慣性系沿軸作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)．在S系中測(cè)得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為=6104m,=2104s，以及=12104m,=1104s．已知在S′系中測(cè)得該兩事件同時(shí)發(fā)生．試問(wèn)：(1)S′系相對(duì)S系的速度是多少? (2) 系中測(cè)得的兩事件的空間間隔是多少?解: 設(shè)相對(duì)的速度為，(1) 由題意 則 故 (2)由洛侖茲變換 代入數(shù)值， 34 長(zhǎng)度=1 m的米尺靜止于S′系中，與′軸的夾角=30176。，S′系相對(duì)S系沿軸運(yùn)動(dòng)，在S系中觀測(cè)者測(cè)得米尺與軸夾角為45． 試求：(1)S′系和S系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度.(2)S系中測(cè)得的米尺長(zhǎng)度． 解: (1)米尺相對(duì)靜止，它在軸上的投影分別為：，米尺相對(duì)沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為，對(duì)系中的觀察者測(cè)得米尺在方向收縮，而方向的長(zhǎng)度不變，即故 把及代入則得 故 (2)在系中測(cè)得米尺長(zhǎng)度為35 一門(mén)寬為，今有一固有長(zhǎng)度(＞)的水平細(xì)桿，在門(mén)外貼近門(mén)的平面內(nèi)沿其長(zhǎng)度方向勻速運(yùn)動(dòng)．若站在門(mén)外的觀察者認(rèn)為此桿的兩端可同時(shí)被拉進(jìn)此門(mén)，則該桿相對(duì)于門(mén)的運(yùn)動(dòng)速率至少為多少?解: 門(mén)外觀測(cè)者測(cè)得桿長(zhǎng)為運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度，當(dāng)時(shí)，可認(rèn)為能被拉進(jìn)門(mén)，則 解得桿的運(yùn)動(dòng)速率至少為：題36圖(c表示真空中光速)的相對(duì)速度相互接近，如果測(cè)得兩者的初始距離是20m，則測(cè)得兩者經(jīng)過(guò)多少時(shí)間相遇?解: 測(cè)得相遇時(shí)間為 測(cè)得的是固有時(shí)∴  ， ， ，或者，測(cè)得長(zhǎng)度收縮，37 觀測(cè)者甲乙分別靜止于兩個(gè)慣性參考系和中，甲測(cè)得在同一地點(diǎn)發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔為 4s，而乙測(cè)得這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為 5s．求：(1) 相對(duì)于的運(yùn)動(dòng)速度．(2)乙測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的地點(diǎn)間的距離．解: 甲測(cè)得,乙測(cè)得，坐標(biāo)差為′(1)∴ 解出 (2) ∴ 負(fù)號(hào)表示．38 一宇航員要到離地球?yàn)?光年的星球去旅行．如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則他所乘的火箭相對(duì)于地球的速度是多少?解: ∴ 39 論證以下結(jié)論：在某個(gè)慣性系中有兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生在不同地點(diǎn)，在有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的其他慣性系中，這兩個(gè)事件一定不同時(shí)．證: 設(shè)在系事件在處同時(shí)發(fā)生，則，在系中測(cè)得 ，∴ 即不同時(shí)發(fā)生．310 試證明：(1)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同一地點(diǎn)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性系來(lái)說(shuō)這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔，只有在此慣性系中最短．(2)如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性關(guān)系來(lái)說(shuō)這兩個(gè)事件的空間間隔，只有在此慣性系中最短．解: (1)如果在系中，兩事件在同一地點(diǎn)發(fā)生，則，在系中，僅當(dāng)時(shí)，等式成立，∴最短．(2)若在系中同時(shí)發(fā)生，即，則在系中，僅當(dāng)時(shí)等式成立，∴系中最短．311 根據(jù)天文觀測(cè)和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠(yuǎn)離我們而去．假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無(wú)線(xiàn)電波的星)的脈沖周期為 ，．問(wèn)這顆星的固有周期為多少?解: 以脈沖星為系，，則有運(yùn)動(dòng)時(shí)，這里不是地球上某點(diǎn)觀測(cè)到的周期，而是以地球?yàn)閰⒖枷档膬僧惖冂娮x數(shù)之差．還要考慮因飛行遠(yuǎn)離信號(hào)的傳遞時(shí)間，∴ ′則 312 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個(gè)介子以速度=．假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命2106s．試分別從下面兩個(gè)角度，即地球上的觀測(cè)者和介子靜止系中觀測(cè)者來(lái)判斷介子能否到達(dá)地球．解: 介子在其自身靜止系中的壽命是固有(本征)時(shí)間，對(duì)地球觀測(cè)者，由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，其壽命延長(zhǎng)了．衰變前經(jīng)歷的時(shí)間為這段時(shí)間飛行距離為因，故該介子能到達(dá)地球．或在介子靜止系中，介子是靜止的．地球則以速度接近介子，在時(shí)間內(nèi)，地球接近的距離為經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：，故介子能到達(dá)地球．313 設(shè)物體相對(duì)S′，如果S′，問(wèn)物體相對(duì)S系的速度是多少?解: 根據(jù)速度合成定理，,∴ 314 ，．當(dāng)兩飛船即將相遇時(shí)飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號(hào)彈．在飛船的觀測(cè)者測(cè)得兩顆信號(hào)彈相隔的時(shí)間間隔為多少?解: 取為系，地球?yàn)橄担晕飨驏|為()軸正向，則對(duì)系的速度，系對(duì)系的速度為，則對(duì)系(船)的速度為發(fā)射彈是從的同一點(diǎn)發(fā)出，其時(shí)間間隔為固有時(shí)，題314圖∴中測(cè)得的時(shí)間間隔為： 315 (1)+和方向飛行．試求由火箭測(cè)得的速度．(2)+方向運(yùn)動(dòng)，火箭的速度不變，求相對(duì)的速度． 解: (1)如圖，取地球?yàn)橄担瑸橄?，則相對(duì)的速度，火箭相對(duì)的速度，則相對(duì)()的速度為：或者取為系，則，相對(duì)系的速度，于是相對(duì)的速度為：(2)如圖，取地球?yàn)橄担鸺秊橄?，系相?duì)系沿方向運(yùn)動(dòng)，速度，對(duì)系的速度為,由洛侖茲變換式相對(duì)的速度為：∴相對(duì)的速度大小為速度與軸的夾角為題315圖316 靜止在S系中的觀測(cè)者測(cè)得一光子沿與軸成角的方向飛行．另一觀測(cè)者靜止于S′系，S′系的軸與軸一致，．試問(wèn)S′系中的觀測(cè)者觀測(cè)到的光子運(yùn)動(dòng)方向如何?解: 系中光子運(yùn)動(dòng)速度的分量為由速度變換公式，光子在系中的速度分量為光子運(yùn)動(dòng)方向與軸的夾角滿(mǎn)足在第二象限為在系中，光子的運(yùn)動(dòng)速度為 正是光速不變．317 (1)，須對(duì)它作多少功?(2)，又須對(duì)它作多少功?解: (1)對(duì)電子作的功，等于電子動(dòng)能的增量，得J=(2) ) 318 子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時(shí)的平均壽命=2106s，若它在實(shí)驗(yàn)室參考系中的平均壽命= 7106s，試問(wèn)其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍?解: 設(shè)子靜止質(zhì)量為，相對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系的速度為，相應(yīng)質(zhì)量為，電子靜止質(zhì)量為，因由質(zhì)速關(guān)系，在實(shí)驗(yàn)室參考系中質(zhì)量為：故 319 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%，試問(wèn)此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之幾?解: 設(shè)靜止質(zhì)量為，運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為，由題設(shè) 由此二式得 ∴ 在運(yùn)動(dòng)方向上的長(zhǎng)度和靜長(zhǎng)分別為和，則相對(duì)收縮量為：320 一電子在電場(chǎng)中從靜止開(kāi)始加速，%?此時(shí)電子速度是多少?1031kg．解: 由質(zhì)能關(guān)系 ∴ ＝所需電勢(shì)差為伏特由質(zhì)速公式有：∴ 故電子速度為 321 一正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)可以把電子加速到動(dòng)能＝109eV．這種電子速率比光速差多少? 這樣的一個(gè)電子動(dòng)量是多大?(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為＝106eV)解: 所以 由上式， 由動(dòng)量能量關(guān)系可得322 氫原子的同位素氘(H)和氚(H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng)，產(chǎn)生氦(He)原子核和一個(gè)中子(n)，并釋放出大量能量，其反應(yīng)方程為H + H→He + n(1原子質(zhì)量單位＝1027kg)，，．求上述聚變反應(yīng)釋放出來(lái)的能量．解: 反應(yīng)前總質(zhì)量為反應(yīng)后總質(zhì)量為質(zhì)量虧損 由質(zhì)能關(guān)系得323 一靜止質(zhì)量為的粒子，裂變成兩個(gè)粒子，．求裂變過(guò)程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的動(dòng)能．解: 孤立系統(tǒng)在裂變過(guò)程中釋放出動(dòng)能，引起靜能減少，相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少，即靜質(zhì)量虧損．設(shè)裂變產(chǎn)生兩個(gè)粒子的靜質(zhì)量分別為和，其相應(yīng)的速度,由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過(guò)程都同時(shí)遵守動(dòng)量守恒定律和能(質(zhì))量守恒定律，所以有注意和必沿相反方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒的矢量方程可以簡(jiǎn)化為一維標(biāo)量方程，再以c,c代入，將上二方程化為：，上二式聯(lián)立求解可得：, 故靜質(zhì)量虧損由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少，即轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，故放出的動(dòng)能為324 有，兩個(gè)靜止質(zhì)量都是的粒子，分別以=,=的速度相向運(yùn)動(dòng)，在發(fā)生完全非彈性碰撞后合并為一個(gè)粒子．求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量．解: 在實(shí)驗(yàn)室參考系中，設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別和，碰撞后粒子的質(zhì)量為、速度為，于是，根據(jù)動(dòng)量守恒和質(zhì)量守恒定律可得： ① ②由于 代入①式得 ，即為碰撞后靜止質(zhì)量．325 試估計(jì)地球、太陽(yáng)的史瓦西半徑．解: 史瓦西半徑 地球： 則： 太陽(yáng)： 則： 326 典型中子星的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量⊙＝21030kg同數(shù)量級(jí)，半徑約為10km．若進(jìn)一步坍縮為黑洞，其史瓦西半徑為多少?一個(gè)質(zhì)子那么大小的微黑洞(1015cm)，質(zhì)量是什么數(shù)量級(jí)? 解: (1)史瓦西半徑與太陽(yáng)的相同，(2) 由 得 327 簡(jiǎn)述廣義相對(duì)論的基本原理和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證．解: 廣義相對(duì)論的基本原理是等效原理和廣義相對(duì)性原理．等效原理又分為弱等效原理和強(qiáng)等效原理．弱等效原理是：在局部時(shí)空中，不可能通過(guò)力學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效．強(qiáng)等效原理是：在局部時(shí)空中，任何物理實(shí)驗(yàn)都不能區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效．廣義相對(duì)性原理是：所有參考系都是平權(quán)的，物理定律的表述相同．廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有：光線(xiàn)的引力偏轉(zhuǎn)，引力紅移，水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)，雷達(dá)回波延遲等．習(xí)題四41 符合什么規(guī)律的運(yùn)動(dòng)才是諧振動(dòng)?分別分析下列運(yùn)動(dòng)是不是諧振動(dòng)：(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)；(2)如題41圖所示，一小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動(dòng)(設(shè)小球所經(jīng)過(guò)的弧線(xiàn)很 短)．題41圖解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：一 ，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng) 是在 自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線(xiàn)性回復(fù)力的作用．或者說(shuō)，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)．(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)．第一，球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的