【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 為 l ，半徑分別為 1R 和 2R ( 2R ＞ 1R )，且 l 2R 1R ，兩柱面之間充有介電常數(shù) ? 的均勻電介質(zhì) .當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異號(hào)電荷 Q 和 Q 時(shí)，求： (1)在半徑 r 處 ( 1R ＜ r ＜ 2R ＝，厚度為 dr，長(zhǎng)為 l 的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度和整個(gè)薄殼中的電場(chǎng)能量； (2)電介質(zhì)中的總電場(chǎng)能量； (3)圓柱形電容器的電容． 解 : 取半徑為 r 的同軸圓柱面 )(S 則 rlDSDS π2d)( ??? ?? 當(dāng) )( 21 RrR ?? 時(shí)， Qq?? ∴ rlQD π2? (1)電場(chǎng)能量密度 22222 π82 lrQDw ?? ?? 薄殼中 rlrQrlrlrQwW ??? π4 ddπ2π8dd22222 ??? (2)電介質(zhì)中總電場(chǎng)能量 ?? ??? 21 1222 lnπ4π4 dd RRV RRlQrlrQWW ?? (3)電容：∵ CQW 22? ∴ )/ln(π22122RR lWQC ??? *830 金屬球殼 A 和 B 的中心相距為 r ， A 和 B 原來都不帶電．現(xiàn)在 A 的中心放一點(diǎn)電荷1q ，在 B 的中心放一點(diǎn)電荷 2q ，如題 830圖所示．試 求： (1) 1q 對(duì) 2q 作用的庫侖力， 2q 有無加速度； (2)去掉金屬殼 B ，求 1q 作用在 2q 上的庫侖力，此時(shí) 2q 有無加速度． 解 : (1)1q 作用在 2q 的庫侖力仍滿足庫侖定律，即 2 210π4 1 rqqF ?? 但 2q 處于金屬球殼中心，它受 合力 為零，沒有加速度． (2)去掉金屬殼 B ， 1q 作用在 2q 上的庫侖力仍是 2 210π41 rqqF ??，但此時(shí) 2q 受合力不為零，有加速度． 題 830 圖 題 831 圖 831 如題 831圖所示， 1C =? F， 2C =? F， 3C =? F ． 1C 上 電壓為 50V．求：ABU ． 解 : 電容 1C 上電量 111 UCQ ? 電容 2C 與 3C 并聯(lián) 3223 CCC ?? 其上電荷 123 ? ∴ 355025231123232 ???? C UCCQU 86)35251(5021 ????? UUU AB V 832 1C 和 2C 兩電容器分別標(biāo)明 “200 pF、 500 V”和 “300 pF、 900 V”，把它們串聯(lián)起來后等值電容是多少 ?如果兩端加上 1000 V ? 解 : (1) 1C 與 2C 串聯(lián)后電容 120300200 30020221 21 ??????? CC CCC pF (2)串聯(lián)后電壓比 231221 ?? CCUU ，而 100021 ??UU ∴ 6001 ?U V , 4002?U V 即電容 1C 電壓超過耐壓值會(huì)擊穿，然后 2C 也擊穿． 833 將兩個(gè)電容器 1C 和 2C 充電到相等的電壓 U 以后 切斷電源，再將每一電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián)．試求： (1)每個(gè)電容器的最終電荷； (2)電場(chǎng)能量的損失． 解 : 如題 833圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為 1q , 2q 題 833 圖 則 ??????????????2122112121202221UUUCUCqqUCUCqqqq 解得 (1) ?1q UCCCCCqUCC CCC21212221211 )(,)( ? ??? ? (2)電場(chǎng)能量損失 WWW ??? 0 )22()2121( 2221212221 CqCqUCUC ???? 221212 UCC CC?? 834 半徑為 1R = 的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為2R = 3R =，當(dāng)內(nèi)球帶電荷 Q = 108C (1)整個(gè)電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量； (2)如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲(chǔ)存的能量； (3)此電容器的電容 值． 解 : 如圖，內(nèi)球帶電 Q ，外球殼內(nèi)表面帶電 Q? ，外表面帶電 Q 題 834 圖 (1)在 1Rr? 和 32 RrR ?? 區(qū)域 0?E? 在 21 RrR ?? 時(shí) 301 π4 rrQE ??? ? 3Rr? 時(shí) 302 π4 rrQE ??? ? ∴在 21 RrR ?? 區(qū)域 ?? 21 dπ4)π4(21 222022 RR rrrQW ?? ? ??? 21 )11(π8π8 d 2102202RR RRQrrQ ?? 在 3Rr? 區(qū)域 ? ? ?? 3 2 30222022 1π8dπ4)π4(21R RQrrrQW ??? ∴ 總能量 )111(π83210221 RRRQWWW ????? ? ??? J (2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有 21 RrR ?? 時(shí) 30π4 rrQE ??? ?, 02?W ∴ 421021 )11(π8 ?????? RRQWW ? J (3)電容器電容 )11/(π422102 RRQWC ??? ? ??? F 習(xí)題九 91 在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn) B? 的數(shù)值是否都相等 ?為何不把作用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向定義為磁感應(yīng)強(qiáng)度 B? 的方向 ? 解 : 在同一磁感應(yīng)線上，各點(diǎn) B? 的數(shù)值一般不相等．因?yàn)榇艌?chǎng)作 用于運(yùn)動(dòng)電荷的磁力方向不僅與磁感應(yīng)強(qiáng)度 B? 的方向有關(guān)，而且與電荷速度方向有關(guān)，即磁力方向并不是唯一由磁場(chǎng)決定的，所以不把磁力方向定義為 B? 的方向． 題 92圖 92 (1)在沒有電流的空間區(qū)域里，如果磁感應(yīng)線是平行直線，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B? 的大小在沿磁感應(yīng)線和垂直它的方向上是否可能變化 (即磁場(chǎng)是否一定是均勻的 )? (2)若存在電流，上述結(jié)論是否還對(duì) ? 解 : (1)不可能變化，即磁場(chǎng)一定是均勻的．如圖作閉合回路 abcd 可證明 21 BB ?? ? ?? ????? 0d 021 IbcBdaBlBab c d ??? ∴ 21 BB ?? ? (2)若存在電流，上述結(jié) 論不對(duì)．如無限大均勻帶電平面兩側(cè)之磁力線是平行直線，但 B? 方向相反，即 21 BB ?? ? . 93 用安培環(huán)路定理能否求有限長(zhǎng)一段載流直導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng) ? 答 : 不能，因?yàn)橛邢揲L(zhǎng)載流直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)雖然有軸對(duì)稱性，但不是穩(wěn)恒電流，安培環(huán)路定理并不適用． 94 在載流長(zhǎng)螺線管的情況下，我們導(dǎo)出其內(nèi)部 nIB 0?? ，外面 B =0，所以在載流螺線管 外面環(huán)繞一周 (見題 94圖 )的環(huán)路積分 ? 外BL? dl? =0 但從安培環(huán)路定理來看，環(huán)路 L中有電流 I穿過，環(huán)路積分應(yīng)為 ?外BL? dl? = I0? 這是為什么 ? 解 : 我們導(dǎo)出 nlB 0??內(nèi) , 0?外B 有一個(gè)假設(shè)的前提，即每匝電流均垂直于螺線管軸線．這時(shí)圖中環(huán)路 L 上就一定沒有電流通過，即也是 ? ? ???L IlB 0d 0???外，與? ? ????L llB 0d0d ???外 是不矛盾的．但這是導(dǎo)線橫截面積為零，螺距為零的理想模型．實(shí)際上以上假設(shè)并不真實(shí)存在，所以使得穿過 L 的電流為 I ，因此實(shí)際螺線管若是無限長(zhǎng)時(shí)，只是 外B? 的軸向分量為零，而垂直于軸的圓周方向分量 rIB ??20??,r 為管外一點(diǎn)到螺線管軸的距離． 題 9 4 圖 95 如果一個(gè)電子在通過空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，能否肯定這個(gè)區(qū)域中沒有磁場(chǎng) ?如果它發(fā) 生偏轉(zhuǎn)能否肯定那個(gè)區(qū)域中存在著磁場(chǎng) ? 解：如果一個(gè)電子在通過 空間某一區(qū)域時(shí)不偏轉(zhuǎn)，不能肯定這個(gè)區(qū)域中沒有磁場(chǎng)，也可能存在互相垂直的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電子受的電場(chǎng)力與磁場(chǎng)力抵消所致．如果它發(fā)生偏轉(zhuǎn)也不能肯定那個(gè)區(qū)域存在著磁場(chǎng)，因?yàn)閮H有電場(chǎng)也可以使電子偏轉(zhuǎn)． 96 已知磁感應(yīng)強(qiáng)度 ?B Wb m2 x 軸正方向，如題 96 圖所示．試求： (1)通過圖中 abcd 面的磁通量； (2)通過圖中 befc 面的磁通量； (3)通過圖中 aefd面的磁通量． 解： 如題 96圖所示 題 96圖 (1)通過 abcd 面積 1S 的磁通是 ?????? SB ??? Wb (2)通過 befc 面積 2S 的磁通量 022 ??? SB ??? (3)通過 aefd 面積 3S 的磁通量 ???????????? SB ??? Wb (或曰 ? Wb ) 題 97圖 97 如題 97圖所示， AB 、 CD 為長(zhǎng)直導(dǎo)線， CB? 為圓心在 O 點(diǎn)的一段圓弧形導(dǎo)線，其半徑為 R ．若通以電流 I ，求 O 點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度． 解：如題 97圖所示， O 點(diǎn)磁場(chǎng)由 AB 、 CB? 、 CD 三部分電流產(chǎn)生．其中 AB 產(chǎn)生 01?B? CD 產(chǎn)生 RIB 1202 ?? ，方向垂直向里 CD 段產(chǎn)生 )231(2)60s i n90( s i n24 003 ???????? ??RIRIB ，方向 ? 向里 ∴ )6231(2 03210 ??? ?????? RIBBBB，方向 ? 向里． 98 在真空中，有兩根互相平行的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線 1L 和 2L ，相距 ，通有方向相反的電流， 1I =20A,2I =10A，如題 98圖所示． A ， B 兩點(diǎn)與導(dǎo)線在同一平面內(nèi)．這兩點(diǎn)與導(dǎo)線 2L的距離均為 ．試求 A ， B 兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)的位置． 題 98圖 解：如題 98圖所示 , AB? 方向垂直紙面向里 42022 )(2 ??????? ??? ? IIB A T (2)設(shè) 0?B? 在 2L 外側(cè)距離 2L 為 r 處 則 02)(2 20 ??? rIr I ??? ? 解得 ?r m 題 99圖 99 如題 99圖所示，兩根導(dǎo)線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的 A ， B 兩點(diǎn)，并在很遠(yuǎn)處與電源相連．已知圓環(huán)的粗細(xì)均勻，求環(huán)中心 O 的磁感應(yīng)強(qiáng)度． 解： 如題 99圖所示，圓心 O 點(diǎn)磁場(chǎng)由直電流 ?A 和 ?B 及兩段圓弧上電流 1I 與 2I 所產(chǎn)生，但 ?A 和 ?B 在 O 點(diǎn) 產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零。且 ?????? 21221 RRII 電阻電阻. 1I 產(chǎn)生 1B? 方向 ? 紙面向外 ? ??? 2 )2(2 101 ?? RIB ， 2I 產(chǎn)生 2B? 方向 ? 紙面向里 ??? 22 202 RIB ? ∴ 1)2(2121 ??? ? ??IIBB 有 0210 ??? BBB ??? 910 在一半徑 R = I = A通過，電流分布均勻 .如題 910圖所示．試求圓柱軸線任一點(diǎn) P 處的磁感應(yīng)強(qiáng)度． 題 910圖 解：因?yàn)榻饘倨瑹o限長(zhǎng)，所以圓柱軸線上任一點(diǎn) P 的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向都在圓柱截面上，取坐標(biāo)如題 910圖所示，取寬 為 ld 的一無限長(zhǎng)直電流 lRII dd ?? ，在軸上 P 點(diǎn)產(chǎn)生 B?d 與 R垂直，大小為 RIRRRIRIB 20002 d2d2 dd ? ??????????? RIBB x 20 2 dc osc osdd ? ?????? RIBB y 20 2 ds i n)2c os (dd ? ????????? ∴ 520202 2 2 )]2s i n(2[s i n22 dc os ???? ????????????? ???? ? RIRIRIB x T 0)2 ds in(22 20 ?? ????? ???? RIB y ∴ iB ?? ??? T 911 氫原子處在基態(tài)時(shí)，它的電子可看作是在半徑 a = 108cm 的軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率 v = 108cm s1．求電子在軌道中心所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度和電子磁矩的值． 解：電子在軌道中心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 300 4 a aveB ?????