【正文】 21 0212021 π4π4 dd rrrr qqrrqqrFA ???? )11(21 rr ? ???? J 外力需作的功 ??????? AA J 題 816 圖 816 如題 816圖所示，在 A ， B 兩點處放有電量分別為 +q ,q 的點電荷， AB 間距離為2R ，現(xiàn)將另一正試驗點電荷 0q 從 O 點經(jīng)過半圓弧移到 C 點，求移動過程中電場力作的功． 解 : 如題 816圖示 0π41??OU 0)( ??RqRq 0π41??OU )3( RqRq ? Rq0π6 ??? ∴ RqqUUqA oCO00 π6)( ???? 817 如題 817圖所示的絕緣細線上均勻分布著線密度為 ? 的正電荷 ,兩直 導線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于 R ．試求環(huán)中心 O 點處的場強和電勢． 解 : (1)由于電荷均勻分布與對稱性， AB 和 CD 段電荷在 O 點產(chǎn)生的場強互相抵消，取?dd Rl? 則 ?? dd Rq? 產(chǎn)生 O 點 E?d 如圖，由于對稱性， O 點場強沿 y 軸負方向 題 817 圖 ?? ???? c osπ4 dd 22 20?? ??? RREE y R0π4 ??? ［ )2sin( ?? 2sin?? ］ R0π2 ???? (2) AB 電荷在 O 點產(chǎn)生電勢，以 0??U ? ? ??? AB 2 0001 2lnπ4π4 dπ4 d RR xxxxU ?????? 同理 CD 產(chǎn)生 2lnπ4 02 ???U 半圓環(huán)產(chǎn)生 003 4π4π ???? ?? RRU ∴ 00321 42lnπ2 ???? ????? UUUU O 818 一電子繞一帶均勻電荷的長直導線以 2 104m s1的勻速率作圓周運動．求帶電直線上的線電荷密度． (電子質(zhì)量 0m = 1031kg，電 子電量 e = 1019C) 解 : 設均勻帶電直線電荷密度為 ? ，在電子軌道處場強 rE 0π2 ??? 電子受力大小 reeEFe0π2 ???? ∴ rvmre 20π2 ??? 得 1320 ???? emv??1mC ?? 819 空氣可以承受的場強的最大值為 E =30kV cm1，超過這個數(shù)值時空氣要發(fā)生火花放電．今有一高壓平行板電容器，極板間距離為 d =，求此電容器可承受的最高電壓． 解 : 平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場 ∴ ??? EU V 820 根據(jù)場強 E? 與電勢 U 的關系 UE ???? ，求下列電 場的場強： (1)點電荷 q 的電場；(2)總電量為 q ，半徑為 R 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點； *(3)偶極子 qlp? 的 lr?? 處 (見題820圖 )． 解 : (1)點電荷 rqU0π4 ?? 題 820 圖 ∴ 0200 π4 rrqrrUE ??? ?????? 0r? 為 r 方向單位矢量． (2)總電量 q ，半徑為 R 的均勻帶電圓環(huán)軸上一點電勢 220π4 xRqU ?? ? ∴ ? ? ixRqxixUE ??? 2/3220π4 ?????? ? (3)偶極子 lqp ??? 在 lr?? 處的一點電勢 200 π4c o s])c o s21(1)c o s2(1[π4rqlllrqU????? ????? ∴ 30π2c osrprUE r ? ?????? 30π4 s in1 rpUrE ? ??? ????? 821 證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導體板 (題 821 圖 )來說， (1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反 ； (2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同． 證 : 如題 821圖所示，設兩導體 A 、 B 的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為 1? ， 2? ， 3? ， 4? 題 821 圖 (1)則取與平面垂直且底面分別在 A 、 B 內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時，有 0)(d 32 ?????? SSEs ???? ∴ ?2? 03?? 說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反； (2)在 A 內(nèi)部任取一點 P ，則其場強為零，并且它是由四個均勻帶電平面產(chǎn)生的場強疊加 而成的，即 02222 04030201 ???? ???????? 又∵ ?2? 03?? ∴ 1? 4?? 說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號相同． 822 三個平行金屬板 A ， B 和 C 的面積都是 200cm2， A 和 B 相距 ， A 與 C 相距 mm． B ， C 都接地，如題 822圖所示．如果使 A 板帶正電 107C，略去邊緣效應，問B 板和 C 板上的感應電荷各是多少 ?以地的電勢為零，則 A 板的電勢是多少 ? 解 : 如題 822圖示，令 A 板左側面電荷面密度為 1? ，右側面電荷面密度為 2? 題 822 圖 (1)∵ ABAC UU ? ，即 ∴ ABABACAC EE dd ? ∴ 2dd21 ???ACABABACEE?? 且 1? + 2? SqA? 得 ,32 SqA?? SqA321 ?? 而 71 10232 ???????? AC qSq ? C C101 72 ?????? Sq B ? (2) 301 ???? ACACACA EU ??V 823 兩個半徑分別為 1R 和 2R （ 1R ＜ 2R )的同心薄金屬球殼 ，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電 +q ，試計算： (1)外球殼上的電荷分布及電勢大?。? (2)先把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布及電勢； *(3)再使內(nèi)球殼接地，此時內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢的改變量． 解 : (1)內(nèi)球帶電 q? ；球殼內(nèi)表面帶電則為 q? ,外表面帶電為 q? ，且均勻分布，其電勢 題 823 圖 ? ?? ? ???? 2 2 020 π4π4 ddR R RqrrqrEU ???? (2)外殼接地時，外表面電荷 q? 入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為 q? ．所以球殼電勢由內(nèi)球 q? 與內(nèi)表面 q? 產(chǎn)生： 0π4π4 2020 ??? RqRqU ?? (3)設此時內(nèi)球殼帶電量為 q? ；則外殼內(nèi)表面帶電量為 q?? ，外殼外表面帶電 量為??q q? (電荷守恒 )，此時內(nèi)球殼電勢為零，且 0π4 39。π4 39。π4 39。 202022 ?????? RqqRqRqU A ??? 得 qRRq21?? 外球殼上電勢 ? ?22021202020 π4π439。π4 39。π4 39。 R qRRRqqRqRqU B ???? ??????? 824 半徑為 R 的金屬球離地面很遠，并用導線與地相聯(lián)，在與球心相距為 Rd 3? 處有一點電荷 +q ，試求：金屬球上的感應電荷的電量． 解 : 如題 824圖所示，設金屬球感應電荷為 q? ，則球接地時電勢 0?OU 824圖 由電勢疊加原理有： ?OU 03π4π4 39。 00 ?? RqRq ?? 得 ???q 3q 825 有三個大小相同的金屬小球，小球 1， 2帶有等量同號電荷，相距甚遠，其間的庫侖力為 0F ．試求： (1)用帶絕緣柄的不帶電小球 3先后分別接觸 1， 2后移去，小球 1， 2之間的庫侖力； (2)小球 3依次交替接觸小球 1， 2很多次后移去，小球 1， 2之間的庫侖力． 解 : 由題意知 2020 π4 rqF ?? (1)小球 3 接觸小球 1后，小球 3 和小球 1均帶電 2qq?? , 小球 3 再與小球 2 接觸后，小球 2 與小球 3 均帶電 qq 43?? ∴ 此時小球 1與小球 2 間相互作用力 002201 83π4 83π439。2 FrqrqqF ????? (2)小球 3 依次交替接觸小球 2 很多次后，每個小球帶電量均為 32q . ∴ 小球 2 間的作用力 002 94π4 32322 FrqqF ??? *826 如題 826圖所示，一平行板電容器兩極板面積都 是 S，相距為 d ，分別維持電勢AU =U ， BU =0不變．現(xiàn)把一塊帶有電量 q 的導體薄片平行地放在兩極板正中間，片的面積也是 S，片的厚度略去不計．求導體薄片的電勢． 解 : 依次設 A ,C ,B 從上到下的 6 個表面的面電荷密度分別為 1? ， 2? ， 3? ， 4? , 5? , 6?如圖所示．由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持 UUAB? 可得以下 6 個方程 題 826 圖 ????????????????????????????????6543215432065430021001??????????????????dUSqSqdUUCSSqBA 解得 Sq261 ???? SqdU 2032 ???? ??? SqdU 2054 ???? ??? 所以 CB 間電場 SqdUE0042 2??? ??? )2 d(212d 02 SqUEUU CBC ????? 注意：因為 C 片帶電，所以 2UUC? ，若 C 片不帶電，顯然 2UUC? 827 在半徑為 1R 的金屬球之外包有一層外半徑為 2R 的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對介電常數(shù)為 r? ，金屬球帶電 Q ．試求： (1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場強； (2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢； (3)金屬球的電勢． 解 : 利用有介質(zhì)時的高斯定理 ?? ?? qSDS ?? d (1)介質(zhì)內(nèi) )( 21 RrR ?? 場強 303 π4,π4 rrQErrQD r?????? ??內(nèi) 。 介質(zhì)外 )( 2Rr? 場強 303 π4,π4 rrQErQrD ???? ??外 (2)介質(zhì)外 )( 2Rr? 電勢 rQEU 0r π4rd ???? ?? ?? 外 介質(zhì)內(nèi) )( 21 RrR ?? 電勢 rdrd ???? ???? ?? ?? rr EEU 外內(nèi) 2020 π4)11(π4 RQRrqr ??? ??? )11(π4 20 RrQ rr ??? ??? (3)金屬球的電勢 rdrd 221 ???? ???? ?? ?RRR EEU 外內(nèi) ?? ??? 22 2020 π44 π dr RRR r rQ drrQ ??? )11(π4 210 RRQ rr ??? ??? 828 如題 828圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為 r? 的電介質(zhì)．試求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值． 解 : 如題 828 圖所示，充滿電介質(zhì)部分場強為 2E? ，真空部 分場強為 1E? ，自由電荷面密度分別為 2? 與 1? 由 ?? ?? 0d qSD ?? 得 11 ??D ， 22 ??D 而 101 ED ?? , 202 ED r??? d21 UEE ?? ∴ rDD ??? ??1212 題 828 圖 題 829 圖 829 兩個同軸的圓柱面，長度均