【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 定理得 ： ? ?03 3/22 ?A h rr h E ??? 解出 ： ? ?02 3/ ?ArE ? (r≤ R) rR? 時(shí)，包圍在高斯面內(nèi)總電荷為： 3/2d2d 302 A hRrrAhV RV ?????? ?? ? 由高斯定理 ： ? ?03 3/22 ?A h Rr h E ??? 解出 ： ? ?rARE 03 3/ ?? (r R) (2) 計(jì)算電勢(shì)分布 當(dāng) rR? 時(shí) ： ??? ???? lRRrlr r rARrrArEU d3d3d 0 320 ?? ? ?RlARrRA ln39 03330 ?? ??? 當(dāng) r＞ R 時(shí) ： 12 rlARr rARrEU lrlr ln3d3d 0303?? ???? ?? 已知某靜電場(chǎng)的電勢(shì)函數(shù) xyxU ln22 ???? (SI)．求點(diǎn) (4， 3， 0)處的電場(chǎng)強(qiáng)度各分量值． 解：由場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系式得 xUEx ???? =1000 V/m； 0????? yUE y ； 0????? zUEz 如題圖 所示，在電矩為 ep? 的電偶極子的電場(chǎng)中，將一電荷為 q 的點(diǎn)電荷從 A 點(diǎn)沿半徑為 R 的圓弧 （ 圓心與電偶極子中心重合， R電偶極子正負(fù)電荷之間距離 ） 移到 B 點(diǎn)，求此過(guò)程中電場(chǎng)力所作的功。 解：用電勢(shì)疊加原理可導(dǎo)出電偶極子在空間任意點(diǎn)的電勢(shì) 304prV r?? ?? 式中 r? 為從電偶極子中心到場(chǎng)點(diǎn)的矢徑．于是知 A、 B 兩點(diǎn)電勢(shì)分別為 204A pV R??? ?； 204B pV R?? ? ? ?pp ?? q 從 A 移到 B 電場(chǎng)力作功 (與路徑無(wú)關(guān) )為 ? ? 202AB qpA q V V R?? ? ? ? ? 第十章 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì) 二、計(jì)算題 如題圖 ，一內(nèi)半徑為 a、外半徑為 b的金屬球殼，帶有電荷 Q，在球殼空腔內(nèi)距離球心 r處有一點(diǎn)電荷 q．設(shè)無(wú)限遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，試求： (1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷． (2) 球心 O點(diǎn)處，由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢(shì)． (3) 球心 O點(diǎn)處的總電勢(shì)． 解： (1) 由靜電感應(yīng)，金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷 q，外表面上帶電荷 q+Q． (2) 不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的，因?yàn)槿我浑姾稍x O 點(diǎn)的 距離都是 a，所以由這些電荷在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為 adqUq 04 ??? ?? aq04 ???? (3) 球心 O 點(diǎn)處的總電勢(shì)為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷 q 在 O 點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和 qQqqO UUUU ?? ??? rq04 ??? aq04 ??? bqQ 04 ???? )111(4 0 barq ???? ? bQ04 ?? 13 有一 無(wú)限大 的接地導(dǎo)體板 ，在距離板面 b處有一電荷為 q的點(diǎn)電荷．如題圖(a)所示，試求： (1) 導(dǎo)體板面上各點(diǎn)的感生電荷面密度分布 (參考題圖 (b))； (2) 面上感生電荷的總電荷 (參考題圖 (c))。 解： (1) 選點(diǎn)電荷所在點(diǎn)到平面的垂足 O 為原點(diǎn)，取平面上任意 點(diǎn) P， P 點(diǎn)距離原點(diǎn)為r，設(shè) P 點(diǎn)的感生電荷面密度為 ?． 在 P 點(diǎn)左邊鄰近處 (導(dǎo)體內(nèi) )場(chǎng)強(qiáng)為零，其法向分量也是零，按場(chǎng)強(qiáng)疊加原理， ? ? 024 c os 0220 ????? ??? ? brqE P π ∴ ? ? 2/3222/ brqb ??? π? (2) 以 O 點(diǎn)為圓心， r 為半徑， dr 為寬度取一小圓環(huán)面，其上電荷為 ? ? 2/322/dd brq b r d rSQ ???? ? 總電荷為 ? ? qbr r drqbdSQ S ?????? ?? ?0 2/322? 如題圖 所示，中性金屬球 A，半徑為 R，它離地球很遠(yuǎn)． 在與球心 O相距分別為 a與 b的 B、 C 兩點(diǎn)，分別放上電荷為 qA和 qB的點(diǎn)電荷，達(dá)到靜電平衡后，問(wèn)： (1) 金屬球 A內(nèi)及其表面有電荷分布嗎？ (2) 金屬球 A中的 P點(diǎn)處電勢(shì)為多大？ (選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn) ) B C R A P O q A q B b a 題圖 解： (1) 靜電平衡后，金屬球 A 內(nèi)無(wú)電荷，其表面有正、負(fù)電荷分布，凈帶電荷為零． (2) 金屬球?yàn)榈葎?shì)體，設(shè)金屬球表面電荷面密度為 ?． ? ? ? ?000 4///4/d ??? ??????? ?? aqaqRSUU BASP A ∵ 0d ????AS S? ∴ ? ? ? ?04/// ???? aqaqU BAP 三個(gè)電容器如題圖 ，其中 C1 = 1010 6 F， C2 = 510 6 F， C3 = 410 6 F，當(dāng) A、 B間電壓 U =100 V 時(shí)，試求： 14 (1) A、 B之間的電容； (2) 當(dāng) C3被擊穿時(shí)，在電容 C1上的電荷和電壓各變?yōu)槎嗌伲? A B C 1 C 2 C 3 U 題圖 解： (1) ????? 321 321 )( CCC CCCC 106 F (2) C1上電壓升到 U = 100 V，電荷增加到 ?? UCQ 11 1 103 C 一個(gè)可變電容器，由于某種原因所有動(dòng)片相對(duì)定片都產(chǎn)生了一個(gè)相對(duì)位移，使得兩個(gè)相鄰的極板間隔之比為 2:1 ，問(wèn)電容器的電容與原來(lái)的電容相比改變了多少？ 解：如下圖，設(shè)可變電容器 的靜片數(shù)為 n ，定片數(shù)為 1?n ，標(biāo)準(zhǔn)情況下，極板間的距離為 d（圖 a），極板相對(duì)面積為 S 。則該電容器組為 )1(2 ?n 個(gè)相同的平行板電容器并聯(lián)（圖a）?？傠娙轂?dSnC0)1(2 ???。 當(dāng)動(dòng)片由于某種原因發(fā)生相對(duì)位移而使相鄰的極板間隔變?yōu)?2:1: ?ba 后，總電容為： bSnaSnC 00 )1()1( ?? ????? dd dSnab baSn 343200 2)1()1( ?????? ?? 49)1( 0 ??? dSn ? 所以電容增加了： dSnCCC 0)1(41 ??????? 一平行板空氣電容器充電后，極板上的自由電荷面密度 0? ＝ 10 6 C/m2．將極板與電源斷開(kāi)，并平行于極板插入一塊相對(duì)介電常量為 8?r? 的各向同性均勻電介質(zhì)板．計(jì)算電介質(zhì)中的電位移 D? 、場(chǎng)強(qiáng) E? 和電極化強(qiáng)度 P? 的大小。 (真空介電常量 0? ＝10 12 C2 / Nm 2) 解：由 D? 的高斯定理求得電位移的大小為 620 1. 77 10 /D C m? ?? ? ? 15 由 0 rDE??? 的關(guān)系式得到場(chǎng)強(qiáng) E? 的大小為 rDE ??0?＝ 104 V/m 介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度的大小為 620 e 0= ( 1 ) 5 10 /rP E E C m? ? ? ? ?? ? ? ? 如題圖 ，一空氣平行板電容器，極板面積為 S ，兩極板之間距離為 d ，其中平行地放有一層厚度為 t (()td? 、相對(duì)介電常量為 r? 的各向同性均勻電介質(zhì)．略去邊緣效應(yīng)，試 求其電容值。 S d t 題圖 解：設(shè)極板上的自由電荷面密度為 0? ．應(yīng)用 D 的高斯定理可得兩極板之間的電位移大小為 D?? 由 0 rDE??? 得：空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為 0 0 0E ??? ；電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為 0 0 0()rE ? ? ?? 。 兩極板之間的電勢(shì)差為 0 ()U E d t Et? ? ? ? ? ttdr?????00 ??? ? ?? ?td rrr ????? ??? 10 電容器的電容為 ? ?td SUSC rr r ?? ??? ???? 10 作法二： 看成二個(gè)電容串聯(lián)， td SC ?? 01 ?， t SC r??02 ? ，則 ? ?td SCC CCC rr r ?? ?? ????? 1021 21 ，極板間距離為 10cm，其間有一半充以相對(duì)介電常量 10?r? 的各向同性均勻電介質(zhì)，其余部分為空氣，如題圖 所示．當(dāng)兩極間電勢(shì)差為 100 V 時(shí)，試分別求空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。 解：設(shè)空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量分別為 1D? 、 2D? 和 1E? 、 2E? ，則 12U E d E d?? (1) 1 0 1DE?? (2) 2 0 2rDE??? (3) 聯(lián)立解得 16 100021 ??? dUEE V/m 29101 C / ???? ED ? ； 28202 C / ???? ED r?? 方向均相同 ,由正極板垂直指向負(fù)極板． 一導(dǎo)體球帶電荷 ? ，放在相對(duì)介電常量為 5?r? 的無(wú)限大各向同性均勻電介質(zhì)中．求介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上的束縛電荷 Q