【正文】 ?? 10 電源作功 ? ? 202 1 UdSqUA r?? ??? ? 設(shè)外力作功為 A1，則根據(jù)功能原理， A1 +A2 = ?W = W2 ?W1 故外力作功 ? ? 2021 121 UdSAWA r ?? ???? ? 第十一章 穩(wěn)恒電流 (Steady Current) 21 二、計(jì)算題 已知導(dǎo)線中的電流按 ??? ttI 的規(guī)律隨時(shí)間變化，式中各量均采用國(guó)際單位。計(jì)算在 st 11? 到 st 32? 的時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線截面的電荷量。 解：導(dǎo)線中的電流不是恒定的，在 dt 時(shí)間間隔內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線截面的電量 dq Idt? 。 在 12tt? 時(shí)間段內(nèi)，通過(guò)導(dǎo)線截面的電量 22112( 0 . 5 6 ) 1 8 . 7ttq I d t t t d t C? ? ? ? ??? 內(nèi)外半徑分別為 1r 、 2r 的兩個(gè)同心球殼構(gòu)成一電阻元件，當(dāng)兩球殼間填滿電阻率為 ? 的材料后，求該電阻器沿徑向的電阻。 解：在半徑 drrr ?? 間取球殼（ 21 rrr ?? ），該球殼沿經(jīng)向的電阻為 24 rdrSdrdR ??? ?? 該電阻器沿經(jīng)向的總電阻應(yīng)為這些殼層電阻的串聯(lián)，即 該電阻器沿徑向的電阻 為 ： )11(4 2121 rrdRR rr ??? ? ?? 當(dāng)電流為 A1 ，端壓為 V2 時(shí)，試求下列各情形中電流的功率以及 s1 內(nèi)產(chǎn)生的熱量。 （ 1）電流通過(guò)導(dǎo)線； （ 2）電流通過(guò)充電的蓄電池，該蓄電池的電動(dòng)勢(shì)為 ； （ 3）電流通過(guò)充電的蓄電池，該蓄電池的電動(dòng)勢(shì)為 。 解：（ 1）、 電流的 功率 1 2 1 2P UI W? ? ? ?。 電流 在 s1 內(nèi)產(chǎn)生的熱量 11 2 1 2Q P t J? ? ? ?。 （ 2）、 電流的 功率 2 2 1 2P UI W? ? ? ?。當(dāng)給電動(dòng)勢(shì)為 2 ? ? 、內(nèi)阻為 2r 的 蓄電池 充電時(shí)，有： 22 2 2 UU I r r I ?? ?? ? ? ? 故 電流 在 s1 內(nèi)產(chǎn)生的熱量 ： 22 2 2( ) 1 ( 2 1. 3 ) 1 0. 7Q I r t I U t J?? ? ? ? ? ? ? ?。 （ 3）、 電流的 功率 3 2 1 2P UI W? ? ? ?。當(dāng)電動(dòng)勢(shì)為 3 ? ? 、內(nèi)阻為 3r 的 蓄電池 放電時(shí)，有： 33 3 3 UU I r r I?? ?? ? ? ? 故 電流 在 s1 內(nèi)產(chǎn)生的熱量 ： 23 3 2( ) 1 ( 2. 6 2) 1 0. 6Q I r t I U t J?? ? ? ? ? ? ? ?。 22 在 一由電動(dòng)勢(shì)恒定的直流電源供電的載流導(dǎo)線表面某處帶有正電荷，已知其電荷面密度為 0? ，在該處導(dǎo)線表面內(nèi)側(cè)的電流密度為 J? ，其方向沿導(dǎo)線表面切線方向，如圖 ．導(dǎo)線的電導(dǎo)率為 ? ，求在該處導(dǎo)線外側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E? 。 ??0 J? 題圖 解：規(guī)定在導(dǎo)線內(nèi)側(cè)和導(dǎo)線外側(cè)各物理量分別用角標(biāo) 1， 2 區(qū)分．由高斯定理可求得導(dǎo)線表面 電場(chǎng)強(qiáng)度的垂直分量 ： 00 /???yE 。 由邊界條件和歐姆定律可求得導(dǎo)線外側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度的平行分量 ： ?/JEx ? 。 則導(dǎo)線外側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小 222020222 ??? JEEE xy ???? 2E? 的方向： JEE xy 00tg ? ??? ??, J001tg ? ??? ?? 在如題圖 所示的電路中，兩電源的電動(dòng)勢(shì)分別為 V91?? 和 V72 ?? ，內(nèi)阻分別為 ??31r 和 ??12r ，電阻 ??8R ，求電阻 R 兩端的電位差。 解：設(shè)各支路的電流為 I I2 和 I3，如圖． 03111 ???? RIrI? ① 0321 ??? III ② 03222 ??? RIrI? ③ 由①、②、③三式聯(lián)立解得： 12213 ???? ?? RrrrRr rrI ?? A 3 2 .7 4A B A BU V V I R V? ? ? ? ? 如題圖 所示的電路中，電源電動(dòng)勢(shì)分別為 V121 ?? ， V82 ?? ， V103 ?? ，內(nèi)阻為 ???? 1321 rrr 。 ???? 2321 RRR ， ??14R ， ??35R 。求： （ 1） a、 b 兩點(diǎn)間的電位差 abU ； 23 （ 2） a 、 b 短路后，電阻 5R 上電流大小和流向。 解： （ 1）、 參考題圖 ，因?yàn)?121 2 3 4 1 249IAR R R R r r?????? ? ? ? ?； 5 0I?? ，所以： abU? 1 1 1 4 5 5 3 1 3 2( ) ( ) ) 9I R r R I R r V???? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2）、 a、 b短接后，設(shè)各支路的電流方向如題圖 。則： 1 5 2 1 5 23 1 1 1 4 1 5 5 3 1 52 3 5 3 5 2 2 3 2 5 2( ) ( ) 2 4 4( ) ( ) 2 4 5I I I I I II R R r I R r I II r R I R R r I I????? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 解得： AI 28131? , AI 2815 ?? , AI 732 ? 即， 如果 a 、 b 短路，電阻 5R 上電流的大小為 128( )A ， 方向 自 左向右 。 在如題圖 所示的電路中，已知， ?? ， ?? ， ??201R ， ??402R ，??603R 。 O 點(diǎn)接地， K 為開(kāi)關(guān)， C 為電容。求： (1) 開(kāi)關(guān)閉合前 A 點(diǎn)的電勢(shì) 1AV ； (2) 開(kāi)關(guān)閉合后 A 點(diǎn)的電勢(shì) 2AV 。（開(kāi)關(guān)閉合前后， A 點(diǎn)的電勢(shì)及電容器極板上的電荷量均指電路穩(wěn)態(tài)時(shí)的值）。 24 解：（ 1）、開(kāi)關(guān)閉合前，參考題圖 ，可得 VUVVV AOOAA 8)( 11 ??????? ? （ 2）、開(kāi)關(guān)閉合后， 設(shè)各支路電流參考方向如題圖 標(biāo)出，列 KCL、 KVL 方程， 1 2 3 1 2 32 3 2 2 2 3 21 1 1 2 2 1 22 6 0 4 08 2 0 4 0I I I I I II R I R I II R I R I I??? ? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ??? 解得結(jié)果為 AI ? ； AI ? ； AI ? 。 故此時(shí) A 點(diǎn)的電勢(shì)為： VRIUV AA )( 13302 ???????? ? 在如題圖 所示的電路中，已知， ???? 2431 RRR ， ??62R ， V61?? ，V22 ?? 。各電池的內(nèi)阻均可忽略。 求： 1）、當(dāng)開(kāi)關(guān) K 打開(kāi)時(shí)，求電路中 B、 C 兩點(diǎn)間的電位差 BCU ； 2）、當(dāng)開(kāi)關(guān) K 閉合后，若已知此時(shí) A、 B 兩點(diǎn)的電位相等，求電阻 R 。 25 解： 1）、開(kāi)關(guān)打開(kāi)時(shí)，閉和回路中的電流為： ARRRRI 614321 2 ????? ? ，（順時(shí)針流動(dòng)） 在 B、 C 兩點(diǎn)間取一段電路，如題圖 ，根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得： )()( 1124 ???????? RRRIVVU CBBC V323? 2）、 K 閉和后，設(shè)三個(gè)支路中電流分別為 1I ， 2I 和 3I ，其參考方向如題圖 表示。 因?yàn)?A、 B 兩點(diǎn)電勢(shì)相等，則根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得： 04221 ???? RIRIU AB ； 0)( 22211 ???? ?RIRIU AB 代入數(shù)值后： 026 21 ?? II ； 222 21 ?? II 解得： AI 211 ?? ， AI 232 ? 。 又因?yàn)椋?312 III ?? ，所以： AI 23? 。再根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得： VRRIU DC 264)()( 1121 ???????? ? 所以： ??? 13IUR DC 26 （本題亦可直接列基爾霍夫方程組求解） 電容器由如圖所示的任意形狀的兩個(gè)導(dǎo)體 A、 B 之間充滿各向同性的均勻電介質(zhì)組成。電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為 r? 。漏電電阻率為 ? 。試證明兩導(dǎo)體之間的電容 C 和電阻 R 之間的關(guān)系為： RC r???0? 。 證明： 如上圖，使 A和 B分別帶上自由電荷 0Q? 。包圍 A（或 B）作閉合曲面 S，S 為高斯面，運(yùn)用 D 的 高斯定理： 0int0 QqsdDS ????? ?? 把各向同性電介質(zhì)的性能方程 ED r ?? ??0? 和歐姆定律的微分形式 JE?? 代入上式得： 0 0rSd s Q?? ?? ? ? ??? 0 0rSJ ds Q??? ???? 00r IQ?? ??? （ 1） 設(shè)導(dǎo)體 A、 B之間的電位差為 U ，則根據(jù)電容的定義有： UQC 0? （ 2） 而 A、 B之間的漏電電阻為： IUR? （ 3） 把（ 2）、（ 3）帶入（ 1）得： RC r???0?