【正文】 向和法向加速度是指在自然坐標(biāo)下的分矢量aｔ 和an ,前者只反映質(zhì)點(diǎn)在切線方向速度大小的變化率,即,后者只反映質(zhì)點(diǎn)速度方向的變化,它可由總加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和法向加速度的大小后,可由公式求ρ．解　(1) 由參數(shù)方程 x ＝,　y ＝消去t 得質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：y ＝ (2) 在t1 ＝ 到t2 ＝(3) 質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度分別為 則t1 ＝v(t)｜t ＝1ｓ＝ 切向和法向加速度分別為 (4) t ＝ 則118 分析　物品空投后作平拋運(yùn)動(dòng)．忽略空氣阻力的條件下,由運(yùn)動(dòng)獨(dú)立性原理知,物品在空中沿水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng),在豎直方向作自由落體運(yùn)動(dòng)．到達(dá)地面目標(biāo)時(shí),兩方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是相同的．因此,分別列出其運(yùn)動(dòng)方程,運(yùn)用時(shí)間相等的條件,即可求解．此外,平拋物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只存在豎直向下的重力加速度．為求特定時(shí)刻t時(shí)物體的切向加速度和法向加速度,只需求出該時(shí)刻它們與重力加速度之間的夾角α或β．由圖可知,在特定時(shí)刻t,物體的切向加速度和水平線之間的夾角α,可由此時(shí)刻的兩速度分量vx 、vy求出,這樣,也就可將重力加速度g 的切向和法向分量求得．解　(1) 取如圖所示的坐標(biāo),物品下落時(shí)在水平和豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程分別為x ＝vt,　y ＝1/2 gt2飛機(jī)水平飛行速度v＝100 m,10176。41′．軌跡如圖所示．116 分析　瞬時(shí)加速度和平均加速度的物理含義不同,它們分別表示為和．在勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中,它們的大小分別為, ,式中｜Δv｜可由圖(B)中的幾何關(guān)系得到,而Δt 可由轉(zhuǎn)過(guò)的角度Δθ 求出．由計(jì)算結(jié)果能清楚地看到兩者之間的關(guān)系,即瞬時(shí)加速度是平均加速度在Δt→0 時(shí)的極限值．解　(1) 由圖(b)可看到Δv ＝v2 v1 ,故 而 所以 (2) 將Δθ＝90176。ｓ1代入(1) (2)得v0＝1 m41′(或326176。ｓ1 ,則初速度大小為設(shè)vo與x 軸的夾角為α,則 α＝123176。大學(xué)物理課后習(xí)題答案（上）=======================================================================全國(guó)高校統(tǒng)一大學(xué)物理11 分析與解 (1) 質(zhì)點(diǎn)在t 至(t ＋Δt)時(shí)間內(nèi)沿曲線從P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn),各量關(guān)系如圖所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大?。｜＝PP′,而Δr ＝｜r｜｜r｜表示質(zhì)點(diǎn)位矢大小的變化量,三個(gè)量的物理含義不同,在曲線運(yùn)動(dòng)中大小也不相等(注：在直線運(yùn)動(dòng)中有相等的可能)．但當(dāng)Δt→0 時(shí),點(diǎn)P′無(wú)限趨近P點(diǎn),則有｜dr｜＝ds,但卻不等于dr．故選(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故,即｜｜≠．但由于｜dr｜＝ds,故,即｜｜＝．由此可見,應(yīng)選(C)．12 分析與解　表示質(zhì)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離隨時(shí)間的變化率,在極坐標(biāo)系中叫徑向速率．通常用符號(hào)vr表示,這是速度矢量在位矢方向上的一個(gè)分量；表示速度矢量；在自然坐標(biāo)系中速度大小可用公式計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中則可由公式求解．故選(D)．13 分析與解　表示切向加速度aｔ,它表示速度大小隨時(shí)間的變化率,是加速度矢量沿速度方向的一個(gè)分量,起改變速度大小的作用；在極坐標(biāo)系中表示徑向速率vr(如題1 2 所述)；在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)的速率v；而表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有(3) 式表達(dá)是正確的．故選(D)．14 分析與解　加速度的切向分量aｔ起改變速度大小的作用,而法向分量an起改變速度方向的作用．質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的．至于aｔ是否改變,則要視質(zhì)點(diǎn)的速率情況而定．質(zhì)點(diǎn)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), aｔ恒為零；質(zhì)點(diǎn)作勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), aｔ為一不為零的恒量,當(dāng)aｔ改變時(shí),質(zhì)點(diǎn)則作一般的變速率圓周運(yùn)動(dòng)．由此可見,應(yīng)選(B)．15 分析與解　本題關(guān)鍵是先求得小船速度表達(dá)式,進(jìn)而判斷運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．為此建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)定滑輪距水面高度為h,t 時(shí)刻定滑輪距小船的繩長(zhǎng)為l,則小船的運(yùn)動(dòng)方程為,其中繩長(zhǎng)l 隨時(shí)間t 而變化．小船速度,式中表示繩長(zhǎng)l 隨時(shí)間的變化率,其大小即為v0,代入整理后為,方向沿x 軸負(fù)向．由速度表達(dá)式,可判斷小船作變加速運(yùn)動(dòng)．故選(C)．16 分析　位移和路程是兩個(gè)完全不同的概念．只有當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)且運(yùn)動(dòng)方向不改變時(shí),位移的大小才會(huì)與路程相等．質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)的位移Δx 的大小可直接由運(yùn)動(dòng)方程得到：,而在求路程時(shí),就必須注意到質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能改變運(yùn)動(dòng)方向,此時(shí),位移的大小和路程就不同了．為此,需根據(jù)來(lái)確定其運(yùn)動(dòng)方向改變的時(shí)刻tp ,求出0～tp 和tp～t 內(nèi)的位移大小Δx1 、Δx2 ,則t 時(shí)間內(nèi)的路程,如圖所示,至于t ＝ s 時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度和加速度可用和兩式計(jì)算．解　(1) s內(nèi)位移的大小 (2) 由 得知質(zhì)點(diǎn)的換向時(shí)刻為 (t＝0不合題意)則 ,所以, s時(shí)間間隔內(nèi)的路程為 (3) t＝ s時(shí) , ,17 分析　根據(jù)加速度的定義可知,在直線運(yùn)動(dòng)中vt曲線的斜率為加速度的大小(圖中AB、CD 段斜率為定值,即勻變速直線運(yùn)動(dòng)；而線段BC 的斜率為0,加速度為零,即勻速直線運(yùn)動(dòng))．加速度為恒量,在at 圖上是平行于t 軸的直線,由vt 圖中求出各段的斜率,即可作出at 圖線．又由速度的定義可知,xt 曲線的斜率為速度的大?。虼?勻速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x t 圖應(yīng)是一直線,而勻變速直線運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的x–t 圖為t 的二次曲線．根據(jù)各段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程x＝x(t),求出不同時(shí)刻t 的位置x,采用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的方法,可作出xt 圖．解　將曲線分為AB、BC、CD 三個(gè)過(guò)程,它們對(duì)應(yīng)的加速度值分別為　 (勻加速直線運(yùn)動(dòng)),　　 (勻速直線運(yùn)動(dòng)) 　(勻減速直線運(yùn)動(dòng))根據(jù)上述結(jié)果即可作出質(zhì)點(diǎn)的at 圖［圖(B)］．在勻變速直線運(yùn)動(dòng)中,有由此,可計(jì)算在0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)間間隔內(nèi)各時(shí)刻的位置分別為用描數(shù)據(jù)點(diǎn)的作圖方法,由表中數(shù)據(jù)可作0～2ｓ和4～6ｓ時(shí)間內(nèi)的x t 圖．在2～4ｓ時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)是作的勻速直線運(yùn)動(dòng), 其x t 圖是斜率k＝20的一段直線［圖(c)］．18 分析　質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程為y ＝f(x),可由運(yùn)動(dòng)方程的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)中消去t 即可得到．對(duì)于r、Δr、Δr、Δs 來(lái)說(shuō),物理含義不同,可根據(jù)其定義計(jì)算．其中對(duì)s的求解用到積分方法,先在軌跡上任取一段微元ds,則,最后用積分求ｓ．解　(1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得質(zhì)點(diǎn)軌跡方程為,這是一個(gè)拋物線方程,軌跡如圖(a)所示． (2) 將t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分別代入運(yùn)動(dòng)方程,可得相應(yīng)位矢分別為 , 圖(a)中的P、Q 兩點(diǎn),即為t ＝0ｓ和t ＝2ｓ時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置．(3) 由位移表達(dá)式,得 其中位移大小而徑向增量*(4) 如圖(B)所示,所求Δs 即為圖中PQ段長(zhǎng)度,先在其間任意處取AB 微元ds,則,由軌道方程可得,代入ds,則2ｓ內(nèi)路程為19 分析　由運(yùn)動(dòng)方程的分量式可分別求出速度、加速度的分量,再由運(yùn)動(dòng)合成算出速度和加速度的大小和方向．解　(1) 速度的分量式為 , 當(dāng)t ＝0 時(shí), vox ＝10 mｓ1 , voy ＝15 m41′(2) 加速度的分量式為 , 則加速度的大小為 設(shè)a 與x 軸的夾角為β,則 ,β＝33176。19′)110 分析　在升降機(jī)與螺絲之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的情況下,一種處理方法是取地面為參考系,分別討論升降機(jī)豎直向上的勻加速度運(yùn)動(dòng)和初速不為零的螺絲的自由落體運(yùn)動(dòng),列出這兩種運(yùn)動(dòng)在同一坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程y1 ＝y(tǒng)1(t)和y2 ＝y(tǒng)2(t),并考慮它們相遇,即位矢相同這一條件,問(wèn)題即可解；另一種方法是取升降機(jī)(或螺絲)為參考系,這時(shí),螺絲(或升降機(jī))相對(duì)它作勻加速運(yùn)動(dòng),但是,此加速度應(yīng)該是相對(duì)加速度．升降機(jī)廂的高度就是螺絲(或升降機(jī))運(yùn)動(dòng)的路程．解1　(1) 以地面為參考系,取如圖所示的坐標(biāo)系,升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為 當(dāng)螺絲落至底面時(shí),有y1 ＝y(tǒng)2 ,即 (2) 螺絲相對(duì)升降機(jī)外固定柱子下降的距離為解2　(1)以升降機(jī)為參考系,此時(shí),螺絲相對(duì)它的加速度大小a′＝g ＋a,螺絲落至底面時(shí),有 (2) 由于升降機(jī)在t 時(shí)間內(nèi)上升的高度為 則 111 分析　該題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問(wèn)題,即已知運(yùn)動(dòng)方程r ＝r(t)求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在確定運(yùn)動(dòng)方程時(shí),若取以點(diǎn)(0,3)為原點(diǎn)的O′x′y′坐標(biāo)系,并采用參數(shù)方程x′＝x′(t)和y′＝y(tǒng)′(t)來(lái)表示圓周運(yùn)動(dòng)是比較方便的．然后,運(yùn)用坐標(biāo)變換x ＝x0 ＋x′和y ＝y(tǒng)0 ＋y′,將所得參數(shù)方程轉(zhuǎn)換至Oxy 坐標(biāo)系中,即得Oxy 坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)P 在任意時(shí)刻的位矢．采用對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)的方法可得速度和加速度．解　(1) 如圖(B)所示,在O′x′y′坐標(biāo)系中,因,則質(zhì)點(diǎn)P 的參數(shù)方程為,　坐標(biāo)變換后,在Oxy 坐標(biāo)系中有,　則質(zhì)點(diǎn)P 的位矢方程為(2) 5ｓ時(shí)的速度和加速度分別為112 分析　為求桿頂在地面上影子速度的大小,必須建立影長(zhǎng)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即影子端點(diǎn)的位矢方程．根據(jù)幾何關(guān)系,影長(zhǎng)可通過(guò)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度求得．由于運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性,太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度也就是地球自轉(zhuǎn)的角速度．這樣,影子端點(diǎn)的位矢方程和速度均可求得．解　設(shè)太陽(yáng)光線對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω,從正午時(shí)分開始計(jì)時(shí),則桿的影長(zhǎng)為s＝htgωt,下午2∶00 時(shí),桿頂在地面上影子的速度大小為當(dāng)桿長(zhǎng)等于影長(zhǎng)時(shí),即s ＝h,則即為下午3∶00 時(shí)．113 分析　本題屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,即已知加速度求速度和運(yùn)動(dòng)方程,必須在給定條件下用積分方法解決．由和可得和．如a＝a(t)或v ＝v(t),則可兩邊直接積分．如果a 或v不是時(shí)間t 的顯函數(shù),則應(yīng)經(jīng)過(guò)諸如分離變量或變量代換等數(shù)學(xué)操作后再做積分．解　由分析知,應(yīng)有 得 (1)由 得 (2)將t＝3ｓ時(shí),x＝9 m,v＝2 mｓ1,x0＝ m．于是可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為 114 分析　本題亦屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問(wèn)題,與上題不同之處在于加速度是速度v的函數(shù),因此,需將式dv ＝a(v)dt 分離變量為后再兩邊積分．解　選取石子下落方向?yàn)閥 軸正向,下落起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1) 由題意知 (1)用分離變量法把式(1)改寫為 (2)將式(2)兩邊積分并考慮初始條件,有 得石子速度 由此可知當(dāng),t→∞時(shí),為一常量,通常稱為極限速度或收尾速度．(2) 再由并考慮初始條件有 得石子運(yùn)動(dòng)方程115 分析　與上兩題不同處在于質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng),根據(jù)疊加原理,求解時(shí)需根據(jù)加速度的兩個(gè)分量ax 和ay分別積分,從而得到運(yùn)動(dòng)方程r的兩個(gè)分量式x(t)和y(t)．由于本題中質(zhì)點(diǎn)加速度為恒矢量,故兩次積分后所得運(yùn)動(dòng)方程為固定形式,即和,兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)．讀者不妨自己驗(yàn)證一下．解　由加速度定義式,根據(jù)初始條件t0 ＝0時(shí)v0 ＝0,積分可得 又由及初始條件t＝0 時(shí),r0＝(10 m)i,積分可得 由上述結(jié)果可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量式,即x ＝10＋3t2 y ＝2t2消去參數(shù)t,可得運(yùn)動(dòng)的軌跡方程 3y ＝2x 20 m這是一個(gè)直線方程．直線斜率,α＝33176。,30176。,1176。s1 ,飛機(jī)離地面的高度y＝100 m,由上述兩式可得目標(biāo)在飛機(jī)正下方前的距離(2) 視線和水平線的夾角為(3) 在任意時(shí)刻物品的速度與水平軸的夾角為取自然坐標(biāo),物品在拋出2s 時(shí),重力加速度的切向分量與法向分量分別為119 分析　這是一個(gè)斜上拋運(yùn)動(dòng),看似簡(jiǎn)單,但針對(duì)題目所問(wèn),如不能靈活運(yùn)用疊加原理,建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將運(yùn)動(dòng)分解的話,求解起來(lái)并不容易．現(xiàn)建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,則炮彈在x 和y 兩個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)均為勻減速直線運(yùn)動(dòng),其初速度分別為v0cosβ和v0sinβ,其加速度分別為gsinα和gcosα．在此坐標(biāo)系中炮彈落地時(shí),應(yīng)有y ＝0,則x ＝OP．如欲使炮彈垂直擊中坡面,則應(yīng)滿足vx ＝0,直接列出有關(guān)運(yùn)動(dòng)方程和速度方程,即可求解．由于本題中加速度g 為恒矢量．故第一問(wèn)也可由運(yùn)動(dòng)方程的矢量式計(jì)算,即,做出炮彈落地時(shí)的矢量圖［如圖(B)所示］,由圖中所示幾何關(guān)系也可求得 (即圖中的r 矢量)．解1　由分析知,炮彈在圖(a)所示坐標(biāo)系中兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)令y ＝0 求得時(shí)間t 后再代入式(1)得解2　做出炮彈的運(yùn)動(dòng)矢量圖,如圖(b)所示,并利用正弦定理,有 從中消去t 后也可得到同樣結(jié)果．(2) 由分析知,如炮彈垂直擊中坡面應(yīng)滿足y ＝0 和vx ＝0,則 (3)由(2)(3)兩式消去t 后得由此可知．只要角α和β滿足上式,炮彈就能垂直擊中坡面,而與v0 的大小無(wú)關(guān)．討論　如將炮彈的運(yùn)動(dòng)按水平和豎直兩個(gè)方向分解,求解本題將會(huì)比較困難,有興趣讀者不妨自己體驗(yàn)一下