【正文】 連同摩托車)的運動可以看成一個水平面內的勻速率圓周運動和一個豎直向上勻速直線運動的疊加．其旋轉一周所形成的旋線軌跡展開后,相當于如圖(b)所示的斜面．把演員的運動速度分解為圖示的v1 和v2 兩個分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運動的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運動的分速度,其中向心力由筒壁對演員的支持力FN 的水平分量FN2 提供,而豎直分量FN1 則與重力相平衡．如圖(c)所示,其中φ角為摩托車與筒壁所夾角．運用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向力．解　設雜技演員連同摩托車整體為研究對象,據(b)(c)兩圖應有 (1) (2) (3) (4)以式(3)代入式(2),得 (5)將式(1)和式(5)代入式(4),可求出圓筒壁對雜技演員的作用力(即支承力)大小為與壁的夾角φ為討論　表演飛車走壁時,演員必須控制好運動速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個力學規(guī)律．213 分析　首先應由題圖求得兩個時間段的F(t)函數,進而求得相應的加速度函數,運用積分方法求解題目所問,積分時應注意積分上下限的取值應與兩時間段相應的時刻相對應． 解　由題圖得由牛頓定律可得兩時間段質點的加速度分別為 對0 ＜t ＜5ｓ 時間段,由得 積分后得 再由得 積分后得將t ＝5ｓ 代入,得v5＝30 mｓ1 和　x7 ＝142 m214 分析　這是在變力作用下的動力學問題．由于力是時間的函數,而加速度a＝dv/dt,這時,動力學方程就成為速度對時間的一階微分方程,解此微分方程可得質點的速度v (t)；由速度的定義v＝dx /dt,用積分的方法可求出質點的位置．　　　　　解　因加速度a＝dv/dt,在直線運動中,根據牛頓運動定律有依據質點運動的初始條件,即t0 ＝0 時v0 ＝ mｓ1又 故飛機著陸后10ｓ內所滑行的距離 216 分析　該題可以分為兩個過程,入水前是自由落體運動,入水后,物體受重力P、浮力F 和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運動．雖然物體的受力分析比較簡單,但是,由于變力是速度的函數(在有些問題中變力是時間、位置的函數),對這類問題列出動力學方程并不復雜,但要從它計算出物體運動的位置和速度就比較困難了．通常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程．這也成了解題過程中的難點．在解方程的過程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定．解　(1) 運動員入水前可視為自由落體運動,故入水時的速度為運動員入水后,由牛頓定律得 P Fｆ F ＝ma由題意P ＝F、Fｆ＝bv2 ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代入上式后得 bv2＝ mv (d v /dy)考慮到初始條件y0 ＝0 時, ,對上式積分,有 (2) 將已知條件b/m ＝ m 1 ,v ＝ 代入上式,則得217 分析　螺旋槳旋轉時,葉片上各點的加速度不同,在其各部分兩側的張力也不同；由于葉片的質量是連續(xù)分布的,在求葉片根部的張力時,可選取葉片上一小段,分析其受力,列出動力學方程,然后采用積分的方法求解．解　設葉片根部為原點O,沿葉片背離原點O 的方向為正向,距原點O 為r處的長為dr一小段葉片,其兩側對它的拉力分別為FＴ(r)與FＴ(r＋dr)．葉片轉動時,該小段葉片作圓周運動,由牛頓定律有由于r ＝l 時外側FＴ ＝0,所以有 上式中取r ＝0,即得葉片根部的張力FＴ0 ＝ 105 N負號表示張力方向與坐標方向相反．218 分析　該題可由牛頓第二定律求解．在取自然坐標的情況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,與其相對應的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而與法向加速度an相對應的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcosα．由此,可分別列出切向和法向的動力學方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man ．由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的,因此,需應用積分求解,為使運算簡便,可轉換積分變量． 倡該題也能應用以小球、圓弧與地球為系統(tǒng)的機械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡便．但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力．解　小球在運動過程中受到重力P 和圓軌道對它的支持力FN ．取圖(b)所示的自然坐標系,由牛頓定律得 (1) (2)由,得,代入式(1),并根據小球從點A 運動到點C 的始末條件,進行積分,有 得 則小球在點C 的角速度為 由式(2)得　　 由此可得小球對圓軌道的作用力為 負號表示F′N 與en 反向． 219 分析　運動學與動力學之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動力學問題．物體在作圓周運動的過程中,促使其運動狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內側對物體的支持力FN 和環(huán)與物體之間的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小與正壓力FN′成正比,且FN與FN′又是作用力與反作用力,這樣,就可通過它們把切向和法向兩個加速度聯(lián)系起來了,從而可用運動學的積分關系式求解速率和路程．　　　　　　　　解　(1) 設物體質量為m,取圖中所示的自然坐標,按牛頓定律,有 由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得取初始條件t ＝0 時v ＝v 0 ,并對上式進行積分,有 (2) 當物體的速率從v 0 減少到1/2v 0時,由上式可得所需的時間為物體在這段時間內所經過的路程 220 分析　物體在發(fā)射過程中,同時受到重力和空氣阻力的作用,其合力是速率v 的一次函數,動力學方程是速率的一階微分方程,求解時,只需采用分離變量的數學方法即可．但是,在求解高度時,則必須將時間變量通過速度定義式轉換為位置變量后求解,并注意到物體上升至最大高度時,速率應為零．解　(1) 物體在空中受重力mg和空氣阻力Fr ＝kv 作用而減速．由牛頓定律得 (1)根據始末條件對上式積分,有 (2) 利用的關系代入式(1),可得分離變量后積分 故 討論　如不考慮空氣阻力,則物體向上作勻減速運動．由公式和分別算得t≈≈184 m,均比實際值略大一些．221 分析　由于空氣對物體的阻力始終與物體運動的方向相反,因此,物體在上拋過程中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落過程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向則相反．又因阻力是變力,在解動力學方程時,需用積分的方法．解　分別對物體上拋、下落時作受力分析,以地面為原點,豎直向上為y 軸(如圖所示)．(1) 物體在上拋過程中,根據牛頓定律有依據初始條件對上式積分,有 物體到達最高處時, v ＝0,故有(2) 物體下落過程中,有 對上式積分,有 則 222 分析　該題依然是運用動力學方程求解變力作用下的速度和位置的問題,求解方法與前兩題相似,只是在解題過程中必須設法求出阻力系數k．由于阻力Fr ＝kv2 ,且Fr又與恒力F 的方向相反；故當阻力隨速度增加至與恒力大小相等時,加速度為零,此時速度達到最大．因此,根據速度最大值可求出阻力系數來．但在求摩托車所走路程時,需對變量作變換．解　設摩托車沿x 軸正方向運動,在牽引力F和阻力Fr 同時作用下,由牛頓定律有 (1)當加速度a ＝dv/dt ＝0 時,摩托車的速率最大,因此可得k＝F/vm2 (2)由式(1)和式(2)可得 (3)根據始末條件對式(3)積分,有 則 又因式(3)中,再利用始末條件對式(3)積分,有 則 223 分析　如圖所示,飛機觸地后滑行期間受到5 個力作用,其中F1為空氣阻力, F2 為空氣升力, F3 為跑道作用于飛機的摩擦力,很顯然飛機是在合外力為變力的情況下作減速運動,列出牛頓第二定律方程后,用運動學第二類問題的相關規(guī)律解題．由于作用于飛機的合外力為速度v的函數,所求的又是飛機滑行距離x,因此比較簡便方法是直接對牛頓第二定律方程中的積分變量dt 進行代換,將dt 用代替,得到一個有關v 和x 的微分方程,分離變量后再作積分． 解　取飛機滑行方向為x 的正方向,著陸點為坐標原點,如圖所示,根據牛頓第二定律有 (1) (2)將式(2)代入式(1),并整理得分離變量并積分,有得飛機滑行距離 (3)考慮飛機著陸瞬間有FN＝0 和v＝v0 ,應有k2v02 ＝mg,將其代入(3)式,可得飛機滑行距離x 的另一表達式討論　如飛機著陸速度v0＝144 kms ,將I、m 及v1代入可得 39 分析　從人受力的情況來看,可分兩個階段：在開始下落的過程中,只受重力作用,人體可看成是作自由落體運動；在安全帶保護的緩沖過程中,則人體同時受重力和安全帶沖力的作用,其合力是一變力,且作用時間很短．為求安全帶的沖力,可以從緩沖時間內,人體運動狀態(tài)(動量)的改變來分析,即運用動量定理來討論．事實上,動量定理也可應用于整個過程．但是,這時必須分清重力和安全帶沖力作用的時間是不同的；而在過程的初態(tài)和末態(tài),人體的速度均為零．這樣,運用動量定理仍可得到相同的結果．解1　以人為研究對象,按分析中的兩個階段進行討論．在自由落體運動過程中,人跌落至2 m 處時的速度為 (1)在緩沖過程中,人受重力和安全帶沖力的作用,根據動量定理,有 (2)由式(1)、(2)可得安全帶對人的平均沖力大小為解2　從整個過程來討論．根據動量定理有310 分析　由沖量定義求得力F 的沖量后,根據動量原理,即為動量增量,注意用式積分前,應先將式中x 用x ＝Acosωt代之,方能積分．解　力F 的沖量為 即311 分析　對于彎曲部分AB 段內的水而言,由于流速一定,在時間Δt 內,從其一端流入的水量等于從另一端流出的水量．因此,對這部分水來說,在時間Δt 內動量的增量也就是流入與流出水的動量的增量Δp＝Δm(vB vA )；此動量的變化是管壁在Δt時間內對其作用沖量I 的結果．依據動量定理可求得該段水受到管壁的沖力F；由牛頓第三定律,自然就得到水流對管壁的作用力F′＝F．解　在Δt 時間內,從管一端流入(或流出) 水的質量為Δm ＝ρυSΔt,彎曲部分AB 的水的動量的增量則為 Δp＝Δm(vB vA ) ＝ρυSΔt (vB vA )依據動量定理I ＝Δp,得到管壁對這部分水的平均沖力從而可得水流對管壁作用力的大小為 作用力的方向則沿直角平分線指向彎管外側．312 分析　根據拋體運動規(guī)律,物體在最高點處的位置坐標和速度是易求的．因此,若能求出第二塊碎片拋出的速度,按拋體運動的規(guī)律就可求得落地的位置．為此,分析物體在最高點處爆炸的過程,由于爆炸力屬內力,且遠大于重力,因此,重力的沖量可忽略,物體爆炸過程中應滿足動量守恒．由于炸裂后第一塊碎片拋出的速度可由落體運動求出,由動量守恒定律可得炸裂后第二塊碎片拋出的速度,進一步求出落地位置．解　取如圖示坐標,根據拋體運動的規(guī)律,爆炸前,物體在最高點A 的速度的水平分量為 (1)物體爆炸后,第一塊碎片豎直落下的運動方程為當該碎片落地時,有y1 ＝0,t ＝t1 ,則由上式得爆炸后第一塊碎片拋出的速度 (2)又根據動量守恒定律,在最高點處有 (3) (4)聯(lián)立解式(1)、(2)、(3) 和(4),可得爆炸后第二塊碎片拋出時的速度分量分別為 爆炸后,第二塊碎片作斜拋運動,其運動方程為 (5) (6)落地時,y2 ＝0,由式(5)、(6)可解得第二塊碎片落地點的水平位置 x2 ＝500 m313 分析　由于兩船橫向傳遞的速度可略去不計,則對搬出重物后的船A 與從船B 搬入的重物所組成的系統(tǒng)Ⅰ來講,在水平方向上無外力作用,因此,它們相互作用的過程中應滿足動量守恒；同樣,對搬出重物后的船B 與從船A 搬入的重物所組成的系統(tǒng)Ⅱ亦是這樣．由此,分別列出系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ的動量守恒方程即可解出結果．　　解　設A、B兩船原有的速度分別以vA 、vB 表示,傳遞重物后船的速度分別以vA′ 、vB′ 表示,被搬運重物的質量以m 表示．分別對上述系統(tǒng)Ⅰ、Ⅱ應用動量守恒定律,則有 (1) (2)由題意知vA′ ＝0, vB′ ＝ ms2,則燃氣的排出率為(2) 為求火箭的最后速率,可將式(1)改寫成 分離變量后積分,有 火箭速率隨時間的變化規(guī)律為 (2),故經歷時間t 后,其質量為得 (3)將式(3)代入式(2),依據初始條件,可得火箭的最后速率317 分析　由題意知質點是在變力作用下運動,因此要先找到力F 與位置x 的關系,由題給條件知．則該力作的功可用式 計算,然后由動能定理求質點速率．解　由分析知, 則在x ＝0 到x ＝L 過程中作功, 由動能定理有 得x ＝L 處的質點速率為此處也可用牛頓定律求質點速率,即分離變量后,兩邊積分也可得同樣結果．318 分析　該題中