【正文】 ．120 分析　選定傘邊緣O 處的雨滴為研究對(duì)象,當(dāng)傘以角速度ω旋轉(zhuǎn)時(shí),雨滴將以速度v 沿切線方向飛出,并作平拋運(yùn)動(dòng)．建立如圖(a)所示坐標(biāo)系,列出雨滴的運(yùn)動(dòng)方程并考慮圖中所示幾何關(guān)系,即可求證．由此可以想像如果讓水從一個(gè)旋轉(zhuǎn)的有很多小孔的噴頭中飛出,從不同小孔中飛出的水滴將會(huì)落在半徑不同的圓周上,為保證均勻噴灑對(duì)噴頭上小孔的分布解　(1) 如圖(a)所示坐標(biāo)系中,雨滴落地的運(yùn)動(dòng)方程為 (1) (2)由式(1)(2)可得 由圖(a)所示幾何關(guān)系得雨滴落地處圓周的半徑為(2) 常用草坪噴水器采用如圖(b)所示的球面噴頭(θ0 ＝45176。ｓ1 m≥y≥0 代入后,可解得71．11176。 27．92176。如何理解上述角度的范圍？在初速一定的條件下,球擊中球門底線或球門上緣都將對(duì)應(yīng)有兩個(gè)不同的投射傾角(如圖所示)．如果以θ＞71．11176。踢出足球,都將因射程不足而不能直接射入球門；由于球門高度的限制,θ 176。之間的任何值．176。時(shí),踢出的足球?qū)⒃竭^門緣而離去,這時(shí)球也不能射入球門．因此可取的角度范圍只能是解中的結(jié)果．122 分析　在自然坐標(biāo)中,s 表示圓周上從某一點(diǎn)開始的曲線坐標(biāo)．由給定的運(yùn)動(dòng)方程s ＝s(t),對(duì)時(shí)間t 求一階、二階導(dǎo)數(shù),即是沿曲線運(yùn)動(dòng)的速度v 和加速度的切向分量aｔ,而加速度的法向分量為an＝v2 /R．這樣,總加速度為a ＝aｔeｔ＋anen．至于質(zhì)點(diǎn)在t 時(shí)間內(nèi)通過的路程,即為曲線坐標(biāo)的改變量Δs＝st s0．因圓周長(zhǎng)為2πR,質(zhì)點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)自然可求得．解　(1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的速率為其加速度的切向分量和法向分量分別為, 故加速度的大小為其方向與切線之間的夾角為(2) 要使｜a｜＝b,由可得(3) 從t＝0 開始到t＝v0 /b 時(shí),質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程為因此質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為123 分析　首先應(yīng)該確定角速度的函數(shù)關(guān)系ω＝kt2．依據(jù)角量與線量的關(guān)系由特定時(shí)刻的速度值可得相應(yīng)的角速度,從而求出式中的比例系數(shù)k,ω＝ω(t)確定后,注意到運(yùn)動(dòng)的角量描述與線量描述的相應(yīng)關(guān)系,由運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩類問題求解的方法(微分法和積分法),即可得到特定時(shí)刻的角加速度、切向加速度和角位移．解　因ωR ＝v,由題意ω∝t2 得比例系數(shù) 所以 則t′＝ 時(shí)的角速度、角加速度和切向加速度分別為 總加速度 124 分析　掌握角量與線量、角位移方程與位矢方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的方法即可得到．解　(1) 由于,則角速度．在t ＝2 ｓ 時(shí),法向加速度和切向加速度的數(shù)值分別為 (2) 當(dāng)時(shí),有,即 得 此時(shí)刻的角位置為 (3) 要使,則有 t ＝125 分析　這是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題．設(shè)雨滴為研究對(duì)象,地面為靜止參考系Ｓ,火車為動(dòng)參考系Ｓ′．v1 為Ｓ′相對(duì)Ｓ 的速度,v2 為雨滴相對(duì)Ｓ的速度,利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系即可解．解　以地面為參考系,火車相對(duì)地面運(yùn)動(dòng)的速度為v1 ,雨滴相對(duì)地面豎直下落的速度為v2 ,旅客看到雨滴下落的速度v2′為相對(duì)速度,它們之間的關(guān)系為 (如圖所示),于是可得126 分析　這也是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問題．可視雨點(diǎn)為研究對(duì)象,地面為靜參考系Ｓ,汽車為動(dòng)參考系Ｓ′．如圖(a)所示,要使物體不被淋濕,在車上觀察雨點(diǎn)下落的方向(即雨點(diǎn)相對(duì)于汽車的運(yùn)動(dòng)速度v2′的方向)應(yīng)滿足．再由相對(duì)速度的矢量關(guān)系,即可求出所需車速v1．解　由［圖(b)］,有 而要使,則 127 分析　船到達(dá)對(duì)岸所需時(shí)間是由船相對(duì)于岸的速度v 決定的．由于水流速度u的存在, v與船在靜水中劃行的速度v′之間有v＝u ＋v′(如圖所示)．若要使船到達(dá)正對(duì)岸,則必須使v沿正對(duì)岸方向；在劃速一定的條件下,若要用最短時(shí)間過河,則必須使v 有極大值．解　(1) 由v＝u ＋v′可知,則船到達(dá)正對(duì)岸所需時(shí)間為(2) 由于,在劃速v′一定的條件下,只有當(dāng)α＝0 時(shí), v 最大(即v＝v′),此時(shí),船過河時(shí)間t′＝d /v′,船到達(dá)距正對(duì)岸為l 的下游處,且有128 分析　該問題涉及到運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性．如何將已知質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于觀察者O 的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到相對(duì)于觀察者O′的運(yùn)動(dòng)中去,其實(shí)質(zhì)就是進(jìn)行坐標(biāo)變換,將系O 中一動(dòng)點(diǎn)(x,y)變換至系O′中的點(diǎn)(x′,y′)．由于觀察者O′相對(duì)于觀察者O 作勻速運(yùn)動(dòng),因此,該坐標(biāo)變換是線性的．解　取Oxy 和O′x′y′分別為觀察者O 和觀察者O′所在的坐標(biāo)系,且使Ox 和O′x′兩軸平行．在t ＝0 時(shí),兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合．由坐標(biāo)變換得x′＝x v t ＝v t v t ＝0 y′＝y(tǒng) ＝1/2 gt2加速度 由此可見,動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于系O′是在y 方向作勻變速直線運(yùn)動(dòng)．動(dòng)點(diǎn)在兩坐標(biāo)系中加速度相同,這也正是伽利略變換的必然結(jié)果．21 分析與解　當(dāng)物體離開斜面瞬間,斜面對(duì)物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力FＴ (其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcot θ,故選(D)．求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力情況和狀態(tài)特征．22 分析與解　與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值μFN范圍內(nèi)取值．當(dāng)FN增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,故選(A)．23 分析與解　由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為μFN．由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v＝μRg．因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑．應(yīng)選(C)．24 分析與解　由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)．重力的切向分量(m gcos θ) 使物體的速率將會(huì)不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程可判斷,隨θ 角的不斷增大過程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可見應(yīng)選(B)．25 分析與解　本題可考慮對(duì)A、B 兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解．此時(shí)A、B 兩物體受力情況如圖(b)所示,圖中a′為A、B 兩物體相對(duì)電梯的加速度,ma′為慣性力．對(duì)A、B 兩物體應(yīng)用牛頓第二定律,可解得FＴ ＝5/8 mg．故選(A)．討論　對(duì)于習(xí)題2 5 這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(本題為電梯)觀察到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí),必須對(duì)物體加上一個(gè)虛擬的慣性力．如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA 和aB 均應(yīng)對(duì)地而言,本題中aA 和aB的大小與方向均不相同．其中aA 應(yīng)斜向上．對(duì)aA 、aB 、a 和a′之間還要用到相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過程較繁．有興趣的讀者不妨自己嘗試一下．26 分析　動(dòng)力學(xué)問題一般分為兩類：(1) 已知物體受力求其運(yùn)動(dòng)情況；(2) 已知物體的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)分析其所受的力．當(dāng)然,在一個(gè)具體題目中,這兩類問題并無(wú)截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來(lái)．本題關(guān)鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系α＝f(t),然后運(yùn)用對(duì)t 求極值的方法即可得出數(shù)值來(lái)．解　取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)O 位于斜面頂點(diǎn),則由牛頓第二定律有 (1)又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng),故有 則 (2)為使下滑的時(shí)間最短,可令,由式(2)有 則可得 ,此時(shí) 27 分析　預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體．處理動(dòng)力學(xué)問題通常采用“隔離體”的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動(dòng)力學(xué)方程．根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式．結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運(yùn)動(dòng)或相互作用力．解　按題意,可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體,畫示力圖,并取豎直向上為Oy 軸正方向(如圖所示)．當(dāng)框架以加速度a 上升時(shí),有FＴ (m1 ＋m2 )g ＝(m1 ＋m2 )a (1) ,FN2 m2 g ＝m2 a (2)解上述方程,得FＴ ＝(m1 ＋m2 )(g ＋a) (3) FN2 ＝m2 (g ＋a) (4)(1) 當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a ＝10 mｓ2 上升時(shí),得繩張力的值為 FＴ ＝ 103 N此時(shí),乙對(duì)甲的作用力則為 F′N2 ＝ 103 N由上述計(jì)算可見,在起吊相同重量的物體時(shí),由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大．因此,起吊重物時(shí)必須緩慢加速,以確保起吊過程的安全．28 分析　該題為連接體問題,同樣可用隔離體法求解．分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小處處相等是有條件的,即必須在繩的質(zhì)量和伸長(zhǎng)可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立．同時(shí)也要注意到張力方向是不同的．解　分別對(duì)物體和滑輪作受力分析［圖(b)］．由牛頓定律分別對(duì)物體A、B 及滑輪列動(dòng)力學(xué)方程,有 mA g FＴ ＝mA a (1)F′Ｔ1 Fｆ ＝mB a′ (2)F′Ｔ 2FＴ1 ＝0 (3)考慮到mA ＝mB ＝m, FＴ ＝F′Ｔ , FＴ1 ＝F′Ｔ1 ,a′＝2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力討論　動(dòng)力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：(1) 分析題意,確定研究對(duì)象,分析受力,選定坐標(biāo)；(2) 根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；(3) 解方程組,得出文字結(jié)果；(4) 核對(duì)量綱,再代入數(shù)據(jù),計(jì)算出結(jié)果來(lái)．29 分析　當(dāng)木塊B 平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板A 上時(shí),木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動(dòng)摩擦力,該力將改變它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對(duì)地面的加速度．換以平板為參考系來(lái)分析,此時(shí),木塊以初速度v′(與平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反)作勻減速運(yùn)動(dòng),其加速度為相對(duì)加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解得． 該題也可應(yīng)用第三章所講述的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來(lái)解．將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而它們的共同速度可根據(jù)動(dòng)量定理求得．又因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量．木塊相對(duì)平板移動(dòng)的距離即可求出．解1　以地面為參考系,在摩擦力Fｆ ＝μmg 的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對(duì)木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程Fｆ ＝μmg ＝ma1 F′ｆ ＝Fｆ ＝m′a2a1 和a2 分別是木塊和木板相對(duì)地面參考系的加速度．若以木板為參考系,木塊相對(duì)平板的加速度a ＝a1 ＋a2 ,木塊相對(duì)平板以初速度 v′作勻減速運(yùn)動(dòng)直至最終停止．由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有 v′2 ＝2as由上述各式可得木塊相對(duì)于平板所移動(dòng)的距離為解2　以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對(duì)摩擦力作的總功為W ＝Fｆ (s ＋l) Fｆl ＝μmgs式中l(wèi) 為平板相對(duì)地面移動(dòng)的距離．由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒定律,有m′v′＝(m′＋m) v″由系統(tǒng)的動(dòng)能定理,有由上述各式可得 210 分析　維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必須使鋼球受到一與向心加速度相對(duì)應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對(duì)球的支持力FN 的分力來(lái)提供的,由于支持力FN 始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨ω而變的．取圖示Oxy 坐標(biāo),列出動(dòng)力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度．解　取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖(b)所示．在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程 (1) (2)且有 (3)由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為可見,h 隨ω的變化而變化．211 分析　如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsinθ 提供(式中θ 角為路面傾角)．從而不會(huì)對(duì)內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓．與其對(duì)應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時(shí)必須以規(guī)定的速率v0行駛．當(dāng)火車行駛速率v≠v0 時(shí),則會(huì)產(chǎn)生兩種情況：如圖所示,如v＞v0 時(shí),外軌將會(huì)對(duì)車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1 ,以補(bǔ)償原向心力的不足,如v＜v0時(shí),則內(nèi)軌對(duì)車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2 ,以抵消多余的向心力,無(wú)論哪種情況火車都將對(duì)外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓．由此可知,鐵路部門為什么會(huì)在每個(gè)鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時(shí)速,從而確保行車安全．解　(1) 以火車為研究對(duì)象,建立如圖所示坐標(biāo)系．據(jù)分析,由牛頓定律有 (1) (2)解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時(shí)規(guī)定速率為(2) 當(dāng)v＞v0 時(shí),根據(jù)分析有 (3) (4)解(3)(4)兩式,可得外軌側(cè)壓力為當(dāng)v＜v0 時(shí),根據(jù)分析有 (5) (6)解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為212 分析　雜技演員(