【文章內容簡介】 少？ 解：分別對 A， B 進行受力分析，由受力分析圖可知： gmmF )( 21 ?? ? gmkxF 1??? gmkx 2?? 所以 .0,121 ??? BA agm mma ? 23. 如圖所示，用一斜向上的力 F (與水平成 30176。 角 )，將一重為 G的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力 F，都不能使木塊向上滑動，則說明木塊與壁面間的靜摩擦系數 的大小為多少？ 解：假設墻壁對木塊的壓力為 N，由受力分析圖可知： NGF ?? ??sin ?cosFN ? 整理上式，并且根據題意，如果不論用怎樣大的力 F，都不能使木塊向上滑動，則說明： FGF 2321 ??? 即當 FF 2321 ?? 此式中 F 無論為多大，總成立，則可得： 33?? 15 24. 質量分別為 m 和 M 的滑塊 A 和 B ，疊放在光滑水平桌面上，如圖所示． A 、 B 間靜摩擦系數為 s? ，滑動摩擦系數為 k? ，系統(tǒng)原處于靜止．今有一水平力作用于 A 上，要使 A 、B 不發(fā)生相對滑動，則 F 應取什么范圍？ 解：根據題意，分別對 A， B 進行受力分析，要使 A， B不發(fā)生相對滑動，必須使兩者具有相同的加速度，所以列式： MmgMmFa smsx ???? 可得： gM MmmFs ）（ ??? 25. 如圖，物體 A、 B質量相同， B 在光滑水平桌面上．滑輪與繩的質量以及空氣阻力均不計，滑輪與其軸之間的摩擦也不計．系統(tǒng)無初速地釋放，則物體 A下落的加速度是多少？ 解：分別對 A， B 進行受力分析，由受力分析圖可知： 111 amTgm ?? 222 amT? 12 21aa ? 則可計算得到： ga 541? 26. 如圖所示，假 設物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光滑的，在從 A至 C的下滑過程中，下面哪個說法是正確的？ (A) 它的加速度大小不變，方向永遠指向圓心。 (B) 它的速率均勻增加。 (C) 它的合外力大小變化，方向永遠指向圓心。 (D) 它的合外力大小不變。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 在下滑過程中，物體做圓周運動。并且 v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度， A的說法不對； 速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻； 外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變 化，所以合力的大小方向也在變化。 C， D的說法都不對。 下滑過程中的 θ 和 v都在增大，所以 N也在增大， RvmmgN 2sin ?? ? 則 E的說法正確。 27. 一小珠可在半徑為 R 的豎直圓環(huán)上無摩擦地滑動，且圓環(huán)能以其豎直直徑為軸轉動．當圓環(huán)以一適當的恒定角速度 ? 轉動，小珠偏離圓環(huán)轉軸而且相對圓環(huán)靜止時，小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為多大？ 解：根據題意，當小珠能相對于圓環(huán)平衡時，其運動為繞 Z 軸的圓周運動 ，假設小珠所在處圓環(huán)半徑偏離豎直方向的角度為 θ ，可列式： mgN ??cos ??? sinsin 2 RmN ? 所以，可得： Rg2cos ?? ? 16 28. 幾個不同傾角的光滑斜面，有共同的底邊，頂點也在同一豎直面上（如圖所示）．為使一物體（視為質點）從斜面上端由靜止滑到下端的時間最短，則斜面的傾角應選 (A) 60176。 ． (B) 45176。 ． (C) 30176。 ． (D) 15176。 ． 解：根據題 意，假設底邊長為 s，斜面的傾角為 θ ，可列式： ?? cossin21 2 stg ? ?2sin42 g st ? 當 θ=45 。 時，時間最短。 29. 如圖所示，小球 A 用輕彈簧 AO1 與輕繩 AO2 系??；小球 B 用輕繩 BO1? 與 BO2? 系住，今剪斷 AO2 繩和BO2? 繩，在剛剪斷的瞬間， A 、 B 球的加速度量值和方向是否相同？ 解：不同。 對于 a圖，在剪斷繩子的瞬間，彈簧的伸長沒有變化，所以彈簧的拉力 F 不變，A 的加速度應該是由重力和彈簧的拉力提供的合力 T，所以： maTF ???sin mgF ??cos 所以加速度大小為： ?tanga? ，方向為水平方向。 對于 b圖，在剪斷繩子的瞬間，繩 子拉力 F變化，它將提供物體做圓周運動，的加速度應該有切向加速度和法向加速度。所以： tmamg ??sin 0c os 2 ???? RvmmamgT n? 所以加速度大小為： ?singa? ，方向為與繩垂直的切線方向。 210. 兩質量均為 m 的小球穿在一光滑圓環(huán)上，并由一輕繩相連，環(huán)豎直固定放置，在圖中位置由靜止釋放，試問釋放瞬間繩上張力為多少？ 解：在釋放瞬間上面的小球作水平運動，下面小球 作豎直運動，兩者加速度大小相等，方向互相垂直。 ma45sinT 0 ? （ 1） ma45sinTmg 0 ?? （ 2） 兩式聯(lián)立消去 a 2mg245sin2 mgT0 ?? 17 習題 3 31. 如圖，一質點在幾個力作用下沿半徑為 R=20m 的圓周運動，其中有一恒力 F=，求質點從 A開始沿逆時針方向經 3/4圓周到達 B的過程中，力 F所做的功。 解： ji 2020 ?????? AB rrr 由做功的定義可知： JW 12)2020( ????????? jiirF 32. 質量為 m=，在 xOy坐標平面內運動，其運動方程為 x=5t2,y=(SI),從 t=2s到 t=4s這段時間內，外力對質點的功為多少？ ijiji 60)()( ???????? 24 rrr 22/ / 10d dt d dt? ? ? ia v r 1 0 5mm? ? ? ?iiF a 由做功的定義可知： 5 6 0 3 0 0WJ? ? ? ? ? ?iiFr k 的輕巧彈簧豎直放置，下端懸一小球， 球的質量為 m，開始時彈簧為原長而小球恰好與地接觸。今將彈簧上端緩慢提起，直到小球能脫離地面為止，求此過程中外力的功。 根據小球是被緩慢提起的，剛脫離地面時所受的力為 F=mg， mgxk ?? 可得此時彈簧的伸長量為： kmgx?? 由做功的定義可知： kgmkxk x dxW kmgx 221 22020 ??? ?? ，一質量為 m 的質點，在半徑為 R 的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的 A 點滑下，到達最低點 B 時，它對容器的正壓力數值為 N，求質點自 A滑到 B的過程 中，摩擦力對其做的功。 分析： Wf直接求解顯然有困難，所以使用動能定理，那就要知道它的末速度的情況。 解：求在 B點的速度： NG= Rvm2 可得： RGNmv )(2121 2 ?? 由動能定理：RmgNm g RRGNWmvWm g Rff)3(21)(21021 2???????? ，其彈力與形變的關系為 iF )( 2xx ??? ，其中 F 和 x 單位分別 為 N 和m ． 18 （ 1）計算當將彈簧由 ?x 拉伸至 ?x 過程中，外力所做之功； （ 2）此彈力是否為保守力 ? 解： （ 1）由做功的定義可知： JxxxxdxxxdW xx)()()( 1??????????? ?? xF （ 2）由計算結果可知，做功與起點和終點的位置有關，與其他因素無關，所以該彈力為保守力。 36. 一質量為 m 的物體，在力 )( 2 jiF btat ?? 的作用下，由靜止開始運動，求在任一時刻 t 此力所做功的功率為多少。 解：要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意： )3121(1)(1 322 jiji btatmdtbtatmtm ????? ?? Fv 所以功率為： )3121(1)3121(1)( 5232322 tbtambtatmbtatN ???????? jijiVF 37. 一質點在三維力場中運動．已知力場的勢能函數為 czbxyaxE ???? 2p . （ 1）求作用力 F ； （ 2）當質點由原點運動到 3?x 、 3?y 、 3?z 位置的過程中，試任選一路徑，計算上述力所做的功。其中 pE 的單位為 J ， zyx 、 的單位為 m ， F 的單位為 N . 解：（ 1）由作用力和勢能的關系： kjiF cbxbyaxr czbx yaxrE P ????? ?????????? )2()( 2 （ 2）取一個比較簡單的積分路徑： kjir dzdydx ??? ，則積分可得： )(])2[( kjikjidrF dzdydxcbxbyaxW ????????? ?? =9a9b3c 38. 輕彈簧 AB 的上端 A 固定，下端 B 懸掛質量為 m 的重物。已知彈簧原長為0l，勁度系數為 k ，重物在 O 點達到平衡，此時彈簧伸長了0x，如圖所示。取 x 軸向下為正，且坐標原點位于：彈簧原長位置 O? ；力的平衡位置 O 。若取原點為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，試分別計算重物在任一位置 P 時系統(tǒng)的總勢能。 19 解：（ 1）取彈簧原長位置 O? 為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，則重物在任一位置 P （坐標設為 x? ）時系統(tǒng)的總勢能： 2P 21E xkxmg ????? （ 2）取力的平衡位置 O 為重力勢能和彈性勢能的勢能零點，則重物在任一位置 P （坐標設為 x ）時系統(tǒng)的總勢能：02020P 2121Ekxmgkxxxkmg x??????而）（ 所以 22020P 212121E kxkxxxkm gx ?????? ）（ 39. 在密度為 1? 的液面上方，懸掛一根長為 l ，密度為 2? 的均勻棒 AB ，棒的 B 端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細繩，設細棒只在浮力和重力作用下運動，在1212 ??? ??的條件下，求細棒下落過程中的最大速度 maxv ，以及細棒能進入液體的最大深度 H 。 解：分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時候，所以： hsglsg 12 ?? ? ，則 lh12??? 。 在下落過程中，利用功能原理： 22 2 1012 hslv sg lh g sy d y? ? ?? ? ?? 所以： 2max 1v gl??? 進入液體的最大深度 H為細棒運動的速度為零時： 210Hsglh gsydy??? ? ?? 所以 1122lH ?????? 310. 若在近似圓形軌道上運行的衛(wèi)星受到塵埃的微弱空氣阻力 f 的作用，設阻力與速度的大小成正比，比例系數k 為常數，即 kvf ?? ，試求質量為 m 的衛(wèi)星，開始在離地心 Rr 40? （ R 為地球半徑）隕落到地面所需的時間。 解：根據題意，假設在離地心 Rr 40? 處質點的速度為 v1，地面上的速度為 v2。提供衛(wèi)星運動的力為萬有引力：202 rMmGrvm ? ，所以 2012 ?? Rrvv 在這個過程中阻力的作用時間可通過動量定理求出： mdvkvdtfdt ??? 通過分離變量取積分，可 20 得： 2121l n l n 2vvvm m mt d t d vk v k v k? ? ? ? ??? 311. 一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長度由桌邊下垂，設鏈條長為 L ，質量為 m ，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考慮垂下的鏈條的質心位置變化，來求做功，則： 1 1 14 8 3 2PW E m g l m g l? ? ? ? ? 312. 起重機用鋼絲繩吊運質量為 m 的物體時以速率 0v 勻速下降，當起重機突然剎車時，因物體仍有慣性運動使鋼絲繩有微小伸長。設鋼絲繩勁度系數為 k ，求它伸長多少 ?所受拉力多大 ?(不計鋼絲繩本身質量 ) 解：當起重機忽然 剎車時，物體的動能將轉換為鋼絲繩的彈性勢能：由220 2121 kxmv ? ，可得： 0vkmx? 分析物體的受力，可得到繩子的拉力為： 0vmkmgkxmgT ???? 313. 在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體 A 、 A 邊上再放一物體 B ，它們質量分別為 Am 和 Bm ，彈簧勁度系數為 k ，原長為 l ．用力推 B ，使彈簧壓縮 0x ，然后釋放。求： （ 1）當 A 與 B 開始分離時，它們的位置和速度； （ 2）分離之后． A 還能往前移動多遠 ? 解：（ 1）當 A 和 B 開始分離時，兩者具有相同的速度，根據能量守恒，可得到： 202 21)(21 kxvmm BA ??，所以：0xmm kv BA ??。xl? （ 2）分離之后， A的動能又將逐漸的轉化為彈性勢能，所以： 22 2121