【正文】 jiji btatmdtbtatmtm ????? ?? Fv 所以功率為： )3121(1)3121(1)( 5232322 tbtambtatmbtatN ???????? jijiVF 37. 一質(zhì)點(diǎn)在三維力場中運(yùn)動(dòng)．已知力場的勢能函數(shù)為 czbxyaxE ???? 2p . （ 1）求作用力 F ； （ 2）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 3?x 、 3?y 、 3?z 位置的過程中，試任選一路徑，計(jì)算上述力所做的功。 210. 兩質(zhì)量均為 m 的小球穿在一光滑圓環(huán)上，并由一輕繩相連，環(huán)豎直固定放置，在圖中位置由靜止釋放，試問釋放瞬間繩上張力為多少？ 解：在釋放瞬間上面的小球作水平運(yùn)動(dòng)，下面小球 作豎直運(yùn)動(dòng)，兩者加速度大小相等，方向互相垂直。 ． (C) 30176。 (D) 它的合外力大小不變。 令 mc?2? 下面分 c為正負(fù)再做進(jìn)一步討論。為使木塊相對(duì)斜面靜止，求斜面加速度 a 的范圍。加速度隨時(shí)間減小，說明速度隨時(shí)間的變化率減小。 解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎 直向下為 x 軸 跳水運(yùn)動(dòng)員入水速度 smghv 1420 ?? dxdvvdtdvkv ??? 2 ?? ?? xvv kdxdvv 010001 mkx ?? 6 116. 一飛行火箭的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： )1ln()1( bttbuutx ???? ，其中 b是與燃料燃燒速率有關(guān)的量， u 為燃?xì)庀鄬?duì)火箭的噴射速度。 2 解： 1） jirv 2t2dtd ??? iva 2dtd ?? 2） 212212 )1t(2]4)t2[(v ???? 1t t2dtdva 2t ??? 22 22 1nta a a t? ? ? ? 14. 一升降機(jī)以加速度 a 上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相距為 d ，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。 解：以地面為參 照系，坐標(biāo)如圖，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為 201 21 attvy ?? （ 1） 圖 14 202 21 gttvhy ??? （ 2） 21 yy ? （ 3） 解之 2dt ga? ? 15. 一質(zhì)量為 m 的小球在高度 h 處以初速度 0v 水平拋出，求： （ 1）小球的運(yùn)動(dòng)方程； （ 2）小球在落地之前的軌跡方程； （ 3）落地前瞬時(shí)小球的 tddr ， tddv ， tvdd . 解：（ 1） tvx 0? 式（ 1） 2gt21hy ?? 式（ 2） jir )gt21h(tv(t ) 20 ?? （ 2）聯(lián)立式（ 1）、式（ 2）得 202v2gxhy ?? （ 3） jir gtvtdd0? 而 落地所用時(shí)間 gh2t? 所以 jir 2g hvtdd0? jv gtdd ?? 3 2202y2x )gt(vvvv ????? 2112 2 222002[ ( ) ] ( 2 )g g hgtdvdt v g t v g h???? 16. 路燈距地面的高度為 1h ，一身高為 2h 的人在路燈下以勻速 1v 沿直線行走。求：（ 1）火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；（ 2）火箭的加速度 。 15. 如圖所示，兩船 A 和 B 相距 R ，分別以速度 Av 和 Bv 勻速直線行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰 ?若不相 碰，求兩船相靠最近的距離．圖中 ? 和 ? 為已知。 解：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得： （ 1 ）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢時(shí)（見圖 a ）， 列 式 為 ：mgNN ?? ??? c o ss in maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的?? ??tan1tan1 ? ??a g （ 2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢時(shí)（見圖 b），列式為 ： ??? c o ss in NmgN ?? maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的?? ??tan1tan2 ? ??a g 所以 ta n ta n1 ta n 1 ta ng a g? ? ? ?? ? ? ??????? 11 27. 一質(zhì)量為 M、頂角為 ? 的三角形光滑物體上。 當(dāng) 00 222 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ，可得： cbtcbx ?? ?cos 一次求導(dǎo)，得到： tcbv ??sin?? 當(dāng) 00 222 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ， 可得： cbeecbx tt ??? ? )(2 ?? 一次求導(dǎo)，得到： )(2 tt eecbv ??? ??? 212. 在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為 R ，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為 ? ，在 0?t 時(shí)，球的速率為 0v ，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 ． (D) 15176。 ma45sinT 0 ? （ 1） ma45sinTmg 0 ?? （ 2） 兩式聯(lián)立消去 a 2mg245sin2 mgT0 ?? 17 習(xí)題 3 31. 如圖，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為 R=20m 的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一恒力 F=，求質(zhì)點(diǎn)從 A開始沿逆時(shí)針方向經(jīng) 3/4圓周到達(dá) B的過程中，力 F所做的功。其中 pE 的單位為 J ， zyx 、 的單位為 m ， F 的單位為 N . 解：（ 1）由作用力和勢能的關(guān)系： kjiF cbxbyaxr czbx yaxrE P ????? ?????????? )2()( 2 （ 2）取一個(gè)比較簡單的積分路徑： kjir dzdydx ??? ，則積分可得： )(])2[( kjikjidrF dzdydxcbxbyaxW ????????? ?? =9a9b3c 38. 輕彈簧 AB 的上端 A 固定，下端 B 懸掛質(zhì)量為 m 的重物。提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的力為萬有引力：202 rMmGrvm ? ，所以 2012 ?? Rrvv 在這個(gè)過程中阻力的作用時(shí)間可通過動(dòng)量定理求出： mdvkvdtfdt ??? 通過分離變量取積分，可 20 得： 2121l n l n 2vvvm m mt d t d vk v k v k? ? ? ? ??? 311. 一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長度由桌邊下垂，設(shè)鏈條長為 L ，質(zhì)量為 m ，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化，來求做功，則： 1 1 14 8 3 2PW E m g l m g l? ? ? ? ? 312. 起重機(jī)用鋼絲繩吊運(yùn)質(zhì)量為 m 的物體時(shí)以速率 0v 勻速下降，當(dāng)起重機(jī)突然剎車時(shí)，因物體仍有慣性運(yùn)動(dòng)使鋼絲繩有微小伸長。 32. 敘述質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能變化定理，寫出它們的表達(dá)式，指出定理的成立條件。 35. 在勁度系數(shù)為 k 的彈簧下，如將質(zhì)量為 m 的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長多少 ?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少 ? 答：如將質(zhì)量為 m 的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長為 mg=kx，所以 kmgx? 如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長應(yīng)滿足能量守恒： 221kxmgx? ，所以 kmgx 2? 36. 試根據(jù)力場的力矢量分布圖判斷哪些力場一定是非保守的 ? 圖 [d]、 [f]為非保守力，因?yàn)槿绻麑?duì)其取環(huán)路積分必定不為 零。 解： （ 1） 由做功的定義可知： JSvF dtvF v dtF dxW x 21 ?????? ??? 橢圓 （ 2）由動(dòng)能定理可知，當(dāng)物體速度不變時(shí)，外力做的總功為零 ，所以當(dāng)該 F 做的功為 時(shí)，其他的力的功為。（ 1）求核反沖動(dòng)量的大小和方向；（ 2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為 26?? ，求其反沖動(dòng)能。問第二塊碎片落在何處。（ 1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的；（ 2）假設(shè)碰撞是完全彈性的；（ 3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù) ?e . 解：由碰撞過程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得 （ 1） 假設(shè)碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的速度前行： mvmv 20 ? 所以：021vv? （ 2）假設(shè)碰撞是完全彈性的， 210 mvmvmv ?? 222120 212121 mvmvmv ?? 兩球交換速度， 01?v 02 vv ? （ 3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù) ?e ，也就是 210 mvmvmv ?? 12 ???vv vv 所以：01 41vv ? ， 02 43vv ? 410. 如圖，光滑斜面與水平面的夾角為 ?30?? ，輕質(zhì)彈簧上端固定．今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為 ?M 的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑26 動(dòng)．當(dāng)木塊向下滑 cm30?x 時(shí)，恰好有一質(zhì)量 ?m 的子彈，沿水平方向以速度 m/s200?v 射中木塊并陷在其中。 解：（ 1）碰撞過程中子彈和木塊動(dòng)量守恒，碰撞結(jié)束后的運(yùn)動(dòng)由機(jī)械能守恒條件可得， vMmmv ??? ）（0 22 2121 kLvMm ??? ）（ 計(jì)算得到： ）（ MmkmLv ??0 （ 2）子彈射入木快所受的阻力做功使子彈動(dòng)能減小，木塊動(dòng)能增加，兩次作功的位移差為 s，所以： 27 ）（ 22021 vvmfx ??? 221 vMxf ??? 其中 sxx ??? 所以： msMkLf 2 2? 413. 質(zhì)量為 M 、長為 l 的船浮在靜止的水面上，船上有一質(zhì)量為 m 的人，開始時(shí)人與船也相對(duì)靜止，然后人以相對(duì)于船的速度 u 從船尾走到船頭，當(dāng)人走到船頭 后人就站在船頭上，經(jīng)長時(shí)間后，人與船又都靜止下來了。 42. 試用所學(xué)的力學(xué)原理解釋逆風(fēng)行舟的現(xiàn)象。 習(xí)題 5 51. 如圖， 一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為 m 、半徑為 r 的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量 為 m2 和 m 的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為 2/2mr ，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為 m2 和 m 的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。 解：在虛線位置的 C點(diǎn)設(shè)為重力勢能的零點(diǎn)，下降過程 32 機(jī)械能守恒 221 ?JmgR? 2221 mRmRJ ?? Rg34?? 34RgRvc ?? ? 162 3A RgvR??? 2 73yF m g m R m g?? ? ? 方向向上 58. 如圖 所示，長為 l 的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為 m 和 m2 的小球，桿可繞水平光滑固定軸 O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸 O距兩端分別為 l31 和 l32 ．輕桿原來靜止在豎直位置。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。求：（ 1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離。 解：根據(jù)角動(dòng)量守衡 有 0220 21322)3()32(32 vmlmlmllmv ????? ?? lv23 0?? 59. 一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為 M ，半徑為 R ，放在一粗糙水平面上 (圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為 ? )，圓盤可繞通過其中心 O 的豎直固定光 滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 （ 1） 設(shè)桿的線 lm?? ，在桿上取一小質(zhì)元 dxdm ?? gdxdmgdf ??? ?? gxdxdM ??? 考慮對(duì)稱 m glgx dxM l ???? ?? 20 412 （ 2） 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 dM J J dt???? ? ???tw JdMdt0 00 ? 0212141 ?? mlm gl t ??? 所以 glt ??30? 53. 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為 m 的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。設(shè)風(fēng)沿與航向成 α 角的方向從右前方吹來，以風(fēng)中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研究對(duì)象， mΔ 表示這塊空氣的質(zhì)量， 1v 和 2v 分別表示它吹向帆面和離開帆面時(shí)的速度，由于帆面比較光滑，風(fēng)速大小基本不變，但是由于 mΔ 的速度方向改變了，所以一定是受到帆的作用力，根據(jù)