【正文】 （ 1）機械能守恒。求：（ 1）當繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而下落的最大距離。求碰撞后從細棒開始轉動到停止轉動的過程所需的時間。另有一水平運動的質量為2m 的小滑塊，從側面垂直于棒與棒的另一端 A 相碰撞，設碰撞時間極短。 (圓盤繞通過 O 的豎直軸的轉動慣量為 221MR ，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。 解：根據角動量守衡 有 0220 21322)3()32(32 vmlmlmllmv ????? ?? lv23 0?? 59. 一質量均勻分布的圓盤，質量為 M ，半徑為 R ，放在一粗糙水平面上 (圓盤與水平面之間的摩擦系數為 ? )，圓盤可繞通過其中心 O 的豎直固定光 滑軸轉動。 解：在虛線位置的 C點設為重力勢能的零點，下降過程 32 機械能守恒 221 ?JmgR? 2221 mRmRJ ?? Rg34?? 34RgRvc ?? ? 162 3A RgvR??? 2 73yF m g m R m g?? ? ? 方向向上 58. 如圖 所示，長為 l 的輕桿，兩端各固定質量分別為 m 和 m2 的小球，桿可繞水平光滑固定軸 O在豎直面內轉動，轉軸 O距兩端分別為 l31 和 l32 ．輕桿原來靜止在豎直位置。 證明：設球的半徑為 R ，總重量為 m ，體密度343Rm???， 將球體劃分為許多厚度為 dZ 的圓盤， 則盤的體積為 dZZR 222 )( ?? 22 2 5 21 8 2()2 1 5 5RRJ R Z d Z R m R?? ? ??? ? ? ?? 56. 一輕彈簧與一均勻細棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數 N/m40?k ，當0?? 時彈簧無形變，細棒的質量 ?m ，求在 0?? 的位置上細棒至少應具有多大的角速度 ? ，才能 轉動到水平位置？ 解：機械能守恒 22 212121 kxJmg ?? ? 根據幾何關系 222 )( ???x ??? srad? 57. 如圖所示，一質量為 m 、半徑為 R 的圓盤，可繞 O 軸在鉛直面內轉動。 dtdvmmaTmg ??? ?JTR? ?Rdtdv? 整理 mgdtdvMm ?? )21( gdtMmmdv tv ???? 00 21 2Mmmgtv ?? 31 54. 輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質量為 4/M ，均勻分布在其邊緣上，繩子 A 端有一質量為 M 的人抓住了繩端，而在繩的另一端 B 系了一質量為 4/M 的重物，如圖。 （ 1） 設桿的線 lm?? ，在桿上取一小質元 dxdm ?? gdxdmgdf ??? ?? gxdxdM ??? 考慮對稱 m glgx dxM l ???? ?? 20 412 （ 2） 根據轉動定律 dM J J dt???? ? ???tw JdMdt0 00 ? 0212141 ?? mlm gl t ??? 所以 glt ??30? 53. 如圖所示，一個質量為 m 的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯，繩子的質量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動。 習題 5 51. 如圖， 一輕繩跨過兩個質量為 m 、半徑為 r 的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質量 為 m2 和 m 的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉動慣量均為 2/2mr ，將由兩個定滑輪以及質量為 m2 和 m 的重物組成的系統從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內的張力。 45. 在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射一炮彈，對于炮車和炮彈這一系統，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力）哪些量守恒？ 對于這個系統，能量守恒，因為沒有外力做功； 46. 體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦滑輪的繩子兩端，當他們由同 一高度向上爬時，相對于繩子，甲的速度是乙的兩倍，則到達頂點情況是： （ A）甲先到達；（ B）乙先到達；（ C）同時到達；（ D）誰先到達不能確定。 見圖 426。設風沿與航向成 α 角的方向從右前方吹來，以風中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研究對象， mΔ 表示這塊空氣的質量， 1v 和 2v 分別表示它吹向帆面和離開帆面時的速度，由于帆面比較光滑，風速大小基本不變，但是由于 mΔ 的速度方向改變了，所以一定是受到帆的作用力，根據牛頓第三定律， mΔ 必然對帆有一個反作用力 f? ，此力的方向偏向船前進的方向，將 f? 分解為兩個分量，垂直 船體的分量與水對船的阻力相平衡，與船的航向平行的分量就是推動帆及整個船體前進的作用力。 42. 試用所學的力學原理解釋逆風行舟的現象。 解：第二宇宙速度 0E? ，由機械能守恒 : 28 210 24A Mmmv G R?? 122A Mv G gRR?? 2 4 si nAmv R mv R ?? 2 2v Rg? 代入： 30??? 思考題 4 41. 一 ? 粒子初時沿 x 軸負向以速度 v 運動，后被位于坐標原點的金核所散射，使 其沿與 x 軸成 ?120 的方向運動 (速庹大小不變 )．試用矢量在圖上表出 ? 粒子所受到的沖量 I 的大小和方向。 解：利用角動量守恒： 2211 mvrmvrL ?? 21 42 vv ?? 同時利用衛(wèi)星的機械能守恒，所以： RMmGmvRMmGmv 421221 022021 ??? mgRMmG ?20 所以： 321 Rgv ? 62 Rgv ? （ 2）??220 vmMmG ? 可得到： R38?? 416 火箭以第二宇宙速度 2 2v Rg? 沿地球表面切向飛出，如圖所示。設質點在 Oxy 平面內運動，不計空氣阻力，以坐標原點為參考點，計算任一時刻： （ 1）作用在質點上的力矩 M； （ 2）質點的角動量 L 解：（ 1） ktm g vFrM ???? ?c o s0???? （ 2） ktm gvdtMvmrL t ????? 200 c os2 ?????? ? 415． 人造地球衛(wèi)星近地點離地心 r1=2R，（ R 為地球半徑），遠地點離地心 r2=4R。 解：（ 1）碰撞過程中子彈和木塊動量守恒，碰撞結束后的運動由機械能守恒條件可得， vMmmv ??? ）（0 22 2121 kLvMm ??? ）（ 計算得到： ）（ MmkmLv ??0 （ 2）子彈射入木快所受的阻力做功使子彈動能減小，木塊動能增加，兩次作功的位移差為 s，所以： 27 ）（ 22021 vvmfx ??? 221 vMxf ??? 其中 sxx ??? 所以： msMkLf 2 2? 413. 質量為 M 、長為 l 的船浮在靜止的水面上，船上有一質量為 m 的人，開始時人與船也相對靜止，然后人以相對于船的速度 u 從船尾走到船頭，當人走到船頭 后人就站在船頭上，經長時間后，人與船又都靜止下來了。求： (1)當小車、車廂、物體以共同速度運動時，物體相對車廂的位移； (2)從繩繃緊到三者達到共同速度所需要的時間。小車由不可伸長的輕繩與另一質量為 kg252 ?m 的車廂連接，車廂前端有一質量為 kg203 ?m 的物體，物體與車廂間 摩擦系數為 ?? 。求子彈打入木塊后它們的共同速度。（ 1）假設碰撞是完全非彈性的；（ 2）假設碰撞是完全彈性的；（ 3）假設碰撞的恢復系數 ?e . 解：由碰撞過程動量守恒以及附加條件，可得 （ 1） 假設碰撞是完全非彈性的，即兩者將以共同的速度前行： mvmv 20 ? 所以：021vv? （ 2）假設碰撞是完全彈性的， 210 mvmvmv ?? 222120 212121 mvmvmv ?? 兩球交換速度， 01?v 02 vv ? （ 3）假設碰撞的恢復系數 ?e ，也就是 210 mvmvmv ?? 12 ???vv vv 所以：01 41vv ? ， 02 43vv ? 410. 如圖，光滑斜面與水平面的夾角為 ?30?? ，輕質彈簧上端固定．今在彈簧的另一端輕輕地掛上質量為 ?M 的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑26 動．當木塊向下滑 cm30?x 時，恰好有一質量 ?m 的子彈，沿水平方向以速度 m/s200?v 射中木塊并陷在其中。 解：分析題 意，可知在彈簧由壓縮狀態(tài)回到原長時，是彈簧的彈性勢能轉換為 B 木塊的動能，然后 B 帶動 A 一起運動，此時動量守恒，可得到兩者相同的速度 v ，并且此時就是彈簧伸長最大的位置，由機械能守恒可算出其量值。今用力推 B 塊，使彈簧壓縮 0x 然后釋放。 1 1 2 212cm x m xx mm?? ? 因為 12m m m??， 1 2cxx? 故 222 3,42cccm x m xx x xm??? 48. 兩個質量分別為 1m 和 2m 的木塊 BA、 ，用一勁度系數為 k 的輕彈簧連接，放在光滑的水平面上。問第二塊碎片落在何處。如果它在飛行到最高點處爆炸成質量相等的兩碎片。 解：（ 1）由 3/104400 5 tF ??? 和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以得到： 03/104400 5 ???? tF 算出 t=。設子彈離開槍口處合力剛好為零。（ 1）求核反沖動量的大小和方向；（ 2）已知衰變后原子核的質量為 26?? ，求其反沖動能。求： （ 1）子彈剛穿出時繩中張力的 大小； （ 2）子彈在穿透過程中所受的沖量。今有一質量為 m=20g 的子彈以 0v =600m/s的水平速度射穿物體。 解：（ 1）根據動量的定義： ( si n c os )P m v m a t b t? ? ? ?? ? ? ?ij （ 2）從 0?t 到 ??/2?t 的時間內質點受到的沖量等于它在這段時間內動量的變化，因為動量沒變，所以沖量為零。 解： （ 1） 由做功的定義可知： JSvF dtvF v dtF dxW x 21 ?????? ??? 橢圓 （ 2）由動能定理可知，當物體速度不變時，外力做的總功為零 ，所以當該 F 做的功為 時，其他的力的功為。已知其中一力 F 方向恒與運動方向一致，大小隨時間變化內關系曲線為半個橢圓，如圖。 重力產生的沖量 mg/ ；所以拉力產生的沖量 mg ，方向為豎直向上。在質點旋轉一周的過程中，試求： （ 1）質點所受合外力的沖量 I； （ 2）質點所受張力 T的沖量 IT。 35. 在勁度系數為 k 的彈簧下，如將質量為 m 的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長多少 ?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少 ? 答：如將質量為 m 的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長為 mg=kx，所以 kmgx? 如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長應滿足能量守恒： 221kxmgx? ，所以 kmgx 2? 36. 試根據力場的力矢量分布圖判斷哪些力場一定是非保守的 ? 圖 [d]、 [f]為非保守力，因為如果對其取環(huán)路積分必定不為 零。 34. 按質點動能定理，下列式子： 22 1221 2121d xxxx x mvmvxF ??? 22 1221 2121d yyyy y mvmvyF ??? 22 1221 2121d zzzz z mvmvzF ??? 是否成立 ?這三式是否是質點動能定理的三個分量式 ?試作分析。即質點系總動能的增量等于外力和內力做功之和。合外力對質點所做的功等于質點動能的增量。 32. 敘述質點和質點組動能變化定理，寫出它們的表達式，指出定理的成立條件。 證明： 對于系統里的兩個質點而言，一對內力做功可表示為： A= 2211 rdfrdf ???? ??? 由于外力的存在，質點 。 （ 1）若選取無窮遠處勢能為零，計算地面處的勢能； （ 2）若選取地面處勢能為零，計算無窮遠處的勢能．比較兩種情況下的勢能差． 21 解：（ 1）取無窮遠處勢能為零，計算地面處的勢能為：ee211bearP eRrE f d r G m m d r G m mrR?? ? ? ? ? ??? （ 2）若選取地面處勢能為零，計算無窮遠處的勢能為： ee211ebaRrerE f d r G m m d r G m mrR? ?? ? ? ? ??? 兩種情況下勢能差是完全一樣的。求： （ 1）當 A 與 B 開始分離時，它們的位置和速度； （ 2）分離之后． A 還能往前移動多遠 ? 解：（ 1）當 A 和 B 開始分離時，兩者具有相同的速度，根據能量守恒，可得到： 202 21)(21 kxvmm BA ??，所以：0xmm kv BA