【正文】 角形光滑物體上。 解：由題意和牛頓第二定律可得： dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxkf ?????2 再采取分離變量法可得： mvdvdxxk ??2 ， 兩邊同時(shí)取積分，則： m vdvdxxk vAA ?? ?? 024/ 所以：mAkv 6? 24. 一質(zhì)量為 kg2 的質(zhì)點(diǎn)，在 xy 平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力 jiF 2244 t?? (SI)的作用， 0?t 時(shí)，它的初速度為jiv 430 ?? (SI)，求 st 1? 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力 nF 解：由題意和牛頓第二定律可得： dtdmm vaf ?? ，代入 f與 v，并兩邊積分， vj i mddtt vv?? ?? 0)244( 210， 10 )]43([284 jivj i ????? iv 5? 速度是 i 方向，也就是切向的，所以法向的力是 j 方向的，則 24??Fj 25. 如圖，用質(zhì)量為 1m 的板車(chē)運(yùn)載一質(zhì)量為 2m 的木箱，車(chē)板與箱底間的摩擦系數(shù)為 ? ，車(chē)與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算 拉車(chē)的力 F 為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？ 解 ： 根 據(jù) 題 意 ， 要 使 木 箱 不 致 于 滑 動(dòng) ， 必 須 使 板 車(chē) 與 木 箱 具 有 相 同 的 加 速 度 ， 所 以 列 式 ：21 2 2 2m sxF mgfa m m m m??? ? ?? 可得： gmmF )( 21 ??? 26. 如圖所示一傾角為 ? 的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為 )( ?? tg? 。 22. 一條質(zhì)量分布均勻的繩子，質(zhì)量為 M 、長(zhǎng)度為 L ，一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸 OO′ 上，并以恒定角速度 ? 在水平面上旋轉(zhuǎn)．設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中繩子始終伸直不打彎，且忽略重力，求距轉(zhuǎn)軸為 r處繩中的張力 T( r)． 解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為 r處取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為 dm，可知： LMddm? ，分析這 dm的繩子的受力情況，因?yàn)樗龅氖菆A周運(yùn)動(dòng)，所以我們 可列出： LM drrr dmrdT 22 ?? ??）（ 。 習(xí)題 2 21. 質(zhì)量為 m 的子彈以速度 0v 水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為 k ，忽略子彈的重力，求： (1) 子彈射入沙土后，速度隨 時(shí)間變化的函數(shù)式； (2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 15. 如圖所示，兩船 A 和 B 相距 R ，分別以速度 Av 和 Bv 勻速直線(xiàn)行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰 ?若不相 碰，求兩船相靠最近的距離．圖中 ? 和 ? 為已知。 14. 運(yùn)動(dòng)物體的加速度隨時(shí)間減小，而速度隨時(shí)間增加，是可能的嗎？ 答：是可能的。 在 Oxy 平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為 R 的圓，螺距為 h （ 2） tRdtdxvx ?? sin??? 2222224 ?? hRvvvv zyx ????? （ 3） tRax ?? cos2?? tRa y ?? sin2?? 0?za 222 ?Raaa yx ??? 思考題 1 11. 質(zhì)點(diǎn)作曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為 v ，瞬時(shí)速率為 v ，平均速度為 v ，平均速率為 v ，則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的 ? （ 1） vv ?? vv , ；（ 2） vv ?? vv , ；（ 3） vv ?? vv , ；（ 4） vv ?? vv , 答： （ 3） 12. 質(zhì)點(diǎn)的 tx~ 關(guān)系如圖，圖中 a ， b ， c 三條線(xiàn)表示三個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng)．問(wèn)它們屬于什么類(lèi)型的運(yùn)動(dòng) ?哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速度??？ 答： cba vvv ?? 13. 結(jié)合 tv~ 圖，說(shuō)明平均加速度和瞬時(shí)加速度的幾何意義。求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道方程；（ 2）質(zhì)點(diǎn)的速度大?。唬?3）質(zhì)點(diǎn)的加速度大小。求：（ 1）火箭飛行速度與時(shí)間的關(guān)系；（ 2）火箭的加速度 。 113. 一物體和探測(cè)氣球從同一高度豎直向上運(yùn)動(dòng)，物體初速為 s/ ?v ，而氣球以速度 s/?v 勻速上升，問(wèn)氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測(cè)得物體的速度各多少？ 物體在任意時(shí)刻的速度表達(dá)式為 gtvvy ?? 0 故氣球中的觀察者測(cè)得物體的速度 vvv y ??? 代入時(shí)間 t可以得到第二秒末物體速度 smv ?? 第三秒末物體速度 0??v 第四秒末物體速度 smv ??? 114. 質(zhì)點(diǎn)沿 x 在軸向運(yùn)動(dòng)，加速度 kva ?? ， k 為常數(shù)．設(shè)從原點(diǎn)出發(fā)時(shí)速度為 0v ，求運(yùn)動(dòng)方程 )(txx? . 解： kvdtdv ?? ?? ?? tvv kdtdvv 00 1 tkevv ?? 0 tkevdtdx ??0 dtevdx tktx ??? ?0 00 )1(0 tkekvx ??? 115. 跳水運(yùn)動(dòng)員自 m10 跳臺(tái)自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設(shè)加速度 2kva ?? ， ??k .求運(yùn)動(dòng)員速度減為入水速度的 10%時(shí)的入水深度。 因此有：? ??202 )c os(vvg ?? gv ??220 cos? 在落地點(diǎn)速度為 0v ??20cos vg ? ?? cos20g v? 111. 飛機(jī)以 s/m1000 ?v 的速度沿水平直線(xiàn)飛行，在離地面高 m98?h 時(shí)，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標(biāo)上，問(wèn)：投放物品時(shí)，駕駛員看目標(biāo)的視線(xiàn)和豎直線(xiàn)應(yīng)成什么角度 ?此時(shí)目標(biāo)距飛機(jī)下方地點(diǎn)多遠(yuǎn) ? 解：設(shè)此時(shí)飛機(jī)距目標(biāo)水平距離為 x 有： tvx 0? 221gth? 聯(lián)立方程解得： mx 447? rc ta n ?? hx? 112. 設(shè)將兩物體 A 和 B 分別以初速 Av 和 Bv 拋擲出去． Av 與水平面的夾角為 ? ； Bv 與水平面的夾角為 ? ，5 試證明在任何時(shí)刻物體 B 相對(duì)物體 A 的速度是常矢量。 解：小球落地時(shí)速度為 ghv 20 ? ,以小球第一次落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立直角坐標(biāo)系， 如圖 000 60cosvvx ? 2000 60c os2160c os tgtvx ?? 4 （ 1） 000 60sinvvy ? 2000 60s in2160s in tgtvy ?? （ 2）第二次落地時(shí) 0?y gvt 02? 所以 mgvtgtvx os2160c os202000 ???? 19. 地球的自轉(zhuǎn)角速度最大增加到若干倍時(shí)，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開(kāi)地球 ?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為 2s/ ，設(shè)赤道上重力加速度為 2m/ . 解：赤道上的物體仍能保持在地球必須滿(mǎn)足 2?Rg? 現(xiàn)在赤道上物體R ????? 17 2 ???? ??? 110. 已知子彈的軌跡為拋物線(xiàn)，初速為 0v ，并且 0v 與水平面的夾角為 ? .試分別求出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)及落地點(diǎn)的曲率半徑。 解：以地面為參 照系，坐標(biāo)如圖，升降機(jī)與螺絲的運(yùn)動(dòng)方程分別為 201 21 attvy ?? （ 1） 圖 14 202 21 gttvhy ??? （ 2） 21 yy ? （ 3） 解之 2dt ga? ? 15. 一質(zhì)量為 m 的小球在高度 h 處以初速度 0v 水平拋出，求： （ 1）小球的運(yùn)動(dòng)方程； （ 2）小球在落地之前的軌跡方程； （ 3）落地前瞬時(shí)小球的 tddr ， tddv ， tvdd . 解：（ 1） tvx 0? 式（ 1） 2gt21hy ?? 式（ 2） jir )gt21h(tv(t ) 20 ?? （ 2）聯(lián)立式（ 1）、式（ 2）得 202v2gxhy ?? （ 3） jir gtvtdd0? 而 落地所用時(shí)間 gh2t? 所以 jir 2g hvtdd0? jv gtdd ?? 3 2202y2x )gt(vvvv ????? 2112 2 222002[ ( ) ] ( 2 )g g hgtdvdt v g t v g h???? 16. 路燈距地面的高度為 1h ，一身高為 2h 的人在路燈下以勻速 1v 沿直線(xiàn)行走。 解： 1）由 jir )t23(t4 2 ??? 可知 2t4x? t23y ?? 消去 t得軌道方程為： 2)3y(x ?? 2） jirv 2t8dtd ??? jijivr 24)dt2t8(dt 1010 ????? ??Δ 3） jv 2(0)? jiv 28(1) ?? 13. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 jir tt 22 ?? ，式中 r 的單位為 m ， t 的單位為 s .求：（ 1）任一時(shí)刻的速度和加速度；（ 2）任一時(shí)刻的切向加速度和法向加 速度。1 《大學(xué)物理學(xué)》課后習(xí)題參考答案 習(xí) 題 1 11. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 )ωts inωt( c o s ji ?? Rr 其中 ? 為常量．求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)的軌道； (2)速度和速率。 解： 1） 由 )ωts inωt( c o s ji ?? Rr 知 tcosRx ω? tsinRy ω? 消去 t可得軌道方程 222 Ryx ?? 2） jrv tRc oss i n ωωtωRωdtd ???? i RωtωRωtωRωv ???? 2122 ])c o s()s i n[( 12. 已知質(zhì)點(diǎn)位矢隨時(shí)間變化的函數(shù)形式為 jir )t23(t4 2 ??? ，式中 r 的單位為 m ， t 的單位為 s .求：（ 1）質(zhì)點(diǎn)的軌道；（ 2）從 0?t 到 1?t 秒的位移；（ 3） 0?t 和 1?t 秒兩時(shí)刻的速度。 2 解： 1） jirv 2t2dtd ??? iva 2dtd ?? 2） 212212 )1t(2]4)t2[(v ???? 1t t2dtdva 2t ??? 22 22 1nta a a t? ? ? ? 14. 一升降機(jī)以加速度 a 上升，在上升過(guò)程中有一螺釘從天花板上松落，升降機(jī)的天花板與底板相距為 d ，求螺釘從天花板落到底板上所需的時(shí)間。試證明人影的頂端作勻速運(yùn)動(dòng)，并求其速度 2v . 證明：設(shè)人從 O點(diǎn)開(kāi)始行走， t 時(shí)刻人影中足的坐標(biāo)為 1x ，人影中頭的坐標(biāo)為 2x ，由幾何關(guān)系可得 圖 16 21122 hhxx x ?? 而 tvx 01? 所以，人影中頭的運(yùn)動(dòng)方程為 021 121 112 vhh thhh xhx ???? 人影中頭的速度 021 122 vhh hdtdxv ??? 17. 一質(zhì)點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 2242 ttx ??? (m)，在 t從 0秒到 3 秒的時(shí)間間隔內(nèi)，則質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程為多少？ 解： tdtdxv 44 ??? 若 0?v 解的 st 1? mxxx 22)242(011 ???????? mxxx 8)242()32342( 2133 ????????????? mxxx 1021 ?????? 18. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度 cm20?h ，斜面對(duì)水平的傾角 ?30?? ，問(wèn)它第二次碰到斜面的位置距原來(lái)的下落點(diǎn)多遠(yuǎn) (假設(shè)小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時(shí)人射角等于反射角 )。 解：在頂點(diǎn)處子彈的速度 ?cos0vv? ，頂點(diǎn)處切向加速度為 0。 解：兩個(gè)物體在任意時(shí)刻的速度為 jiv A )s in(c o s0 gtvv 0 ??? ?? jiv B g t)s in(c o s0 ?? 0vv ?? jivvv ABA )s i ns i n()c o sc o s( 0000B ???? vvvv ?????? 與時(shí)間無(wú)關(guān)，故 B 相對(duì)物體 A 的速度是常 矢量。 解：取水面為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎 直向下為 x 軸 跳水運(yùn)動(dòng)員入水速度 smghv 1420 ?? dxdvvdtdvkv ??? 2 ?? ?? xvv kdxdvv 01000