【正文】 22 )s i ns i n()c osc os( c osc os ???? ?? ??? ?? Rvvvv vvrBABAAB )c os (2 s i ns i n22m in ???? ??? ?? 8 16. 若質(zhì)點(diǎn)限于在平面上運(yùn)動(dòng)，試指出符合下列條件的各應(yīng)是什么樣的運(yùn)動(dòng)？ （ 1） 0dd ?tr ， 0dd ?tr ；（ 2） 0dd ?tv ， 0dd ?tv ；（ 3） 0dd ?ta ， 0dd ?ta 答 : (1) 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng) . (2) 質(zhì)點(diǎn)作勻速率曲線運(yùn)動(dòng) . (3) 質(zhì)點(diǎn)作拋體運(yùn)動(dòng) . 17. 一質(zhì)點(diǎn)作斜拋運(yùn)動(dòng)，用 1t 代表落地時(shí)， . （ 1）說(shuō)明下面三個(gè)積分的意義： tvtvtv tt yt x d,d,d 111000 ???. （ 2）用 A 和 B 代表拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)位置，說(shuō)明下面三個(gè)積分的意義： ? ?? BA BABA rd,d,d rr . 答 :（ 1） tvtxd10? 表示物體落地時(shí) x方向的距離； tvt yd10? 表示物體落地時(shí) y方向的距離； tvt d10? 表示物體在 1t 時(shí)間內(nèi)走過(guò)的幾何路程； （ 2） ?BArd 表示拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)的位移； ?BA rd 表示拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大??； ?BAdr 表示拋出點(diǎn)到落地點(diǎn)位移的大小。 習(xí)題 2 21. 質(zhì)量為 m 的子彈以速度 0v 水平射入沙土中，設(shè)子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為 k ，忽略子彈的重力，求： (1) 子彈射入沙土后，速度隨 時(shí)間變化的函數(shù)式； (2) 子彈進(jìn)入沙土的最大深度。 解：（ 1）由題意和牛頓第二定律可得： dtdvmkvf ??? ， 9 分離變量，可得： vdtdvmk ?? 兩邊同時(shí)積分，所以： tmkevv ?? 0 （ 2）子彈進(jìn)入沙土的最大深度也就是 v=0的時(shí)候子彈的位移，則： 由 vdtdvmk ?? 可 推 出 ： dvkmvdt ?? ， 而 這 個(gè) 式 子 兩 邊 積 分 就 可 以 得 到 位 移 ：00m a x 0v mmx v d t d v vkk? ? ? ??? 。 22. 一條質(zhì)量分布均勻的繩子，質(zhì)量為 M 、長(zhǎng)度為 L ，一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸 OO′ 上，并以恒定角速度 ? 在水平面上旋轉(zhuǎn)．設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中繩子始終伸直不打彎，且忽略重力，求距轉(zhuǎn)軸為 r處繩中的張力 T( r)． 解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為 r處取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為 dm，可知： LMddm? ，分析這 dm的繩子的受力情況，因?yàn)樗龅氖菆A周運(yùn)動(dòng)，所以我們 可列出： LM drrr dmrdT 22 ?? ??）（ 。 距轉(zhuǎn)軸為 r 處繩中的張力 T( r) 將 提 供 的 是 r 以 外 的 繩 子 轉(zhuǎn) 動(dòng) 的 向 心 力 ， 所 以 兩 邊 積 分 ：）（）（）（ 2222 rLLMrdTrT Lr ??? ? ? 23. 已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)在 x 軸上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)只受到指向原點(diǎn)的引力作用，引力大小與質(zhì)點(diǎn)離原點(diǎn)的距離 x 的平方成反比，即 2/xkf ?? ， k 是比例常數(shù)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)在 Ax? 時(shí)的速度為零，求質(zhì)點(diǎn)在 4/Ax? 處的速度的大小。 解：由題意和牛頓第二定律可得： dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxkf ?????2 再采取分離變量法可得： mvdvdxxk ??2 ， 兩邊同時(shí)取積分，則： m vdvdxxk vAA ?? ?? 024/ 所以：mAkv 6? 24. 一質(zhì)量為 kg2 的質(zhì)點(diǎn)，在 xy 平面上運(yùn)動(dòng)，受到外力 jiF 2244 t?? (SI)的作用， 0?t 時(shí)，它的初速度為jiv 430 ?? (SI)，求 st 1? 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度及受到的法向力 nF 解：由題意和牛頓第二定律可得： dtdmm vaf ?? ，代入 f與 v，并兩邊積分， vj i mddtt vv?? ?? 0)244( 210， 10 )]43([284 jivj i ????? iv 5? 速度是 i 方向，也就是切向的，所以法向的力是 j 方向的，則 24??Fj 25. 如圖，用質(zhì)量為 1m 的板車運(yùn)載一質(zhì)量為 2m 的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為 ? ，車與路面間的滾動(dòng)摩擦可不計(jì)，計(jì)算 拉車的力 F 為多少才能保證木箱不致滑動(dòng)？ 解 ： 根 據(jù) 題 意 ， 要 使 木 箱 不 致 于 滑 動(dòng) ， 必 須 使 板 車 與 木 箱 具 有 相 同 的 加 速 度 ， 所 以 列 式 ：21 2 2 2m sxF mgfa m m m m??? ? ?? 可得： gmmF )( 21 ??? 26. 如圖所示一傾角為 ? 的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為 )( ?? tg? 。為使木塊相對(duì)斜面靜止，求斜面加速度 a 的范圍。 解：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得： （ 1 ）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見(jiàn)圖 a ）， 列 式 為 ：mgNN ?? ??? c o ss in maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的?? ??tan1tan1 ? ??a g （ 2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見(jiàn)圖 b），列式為 ： ??? c o ss in NmgN ?? maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的?? ??tan1tan2 ? ??a g 所以 ta n ta n1 ta n 1 ta ng a g? ? ? ?? ? ? ??????? 11 27. 一質(zhì)量為 M、頂角為 ? 的三角形光滑物體上。放有一質(zhì)量為m 的物塊，如圖所示。設(shè)各面間 的摩擦力均可忽略不計(jì)。試按下列三種方法：（ 1）用牛頓定理及約束方程；（ 2）用牛頓定律及運(yùn)動(dòng)疊加原理；（ 3）用非慣性系中力學(xué)定律；求解三角形物塊的加速度Ma. 解：隔離物塊和斜面體，畫圖分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比方程數(shù)多，關(guān)鍵在于， M與 m的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的， M沿地面運(yùn)動(dòng)， m 沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件。取地面作為參考系，則 m的運(yùn)動(dòng)為： sin xN ma??? （ 1） cos yN mg ma? ?? （ 2） M 的運(yùn)動(dòng)方程為： sin MN Ma? ? （ 3） 下面列出約束條件的方程：取 M 作為參考系，設(shè) m 在其中的相對(duì)加速度為 a? ，在 x,y方向的分量分別為 ?xa 與 ?ya ，那么： tan yxaa? ?? ? 利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式， aaa Mm ??? 所以： Mxx aaa ??? yy aa ?? 于是： ta n yyx x Maaa a a? ???? ? 即： si n c os si nx y Ma a a? ? ??? （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）聯(lián)立，計(jì)算可得： 2sin co ssinM magMm???? ? 28. 圓柱形容器內(nèi)裝有一定量的液體，若它們一起繞圓柱軸以角速度 ? 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試問(wèn)穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面的形狀如何？ 解： 受力分析如圖 ymsinN 2ωΔα ? （ 1） mgcosN Δα ? （ 2） 兩式相比 dydzg ytan2 ?? ωα 12 dygydz2? ?? ω Cygωz ?? 222 當(dāng) 0?y 時(shí) 0zz? 所以 0zC? 0222 zygωz ?? 穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面是一個(gè)拋物面 由于旋轉(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤?2 220()2z x y zg?? ? ?】 29. 質(zhì)量為 2m 的物體可以在劈形物體的斜面上無(wú)摩擦滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為 1m ，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為 ? ，求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。 解：隔離物塊和斜面體，分析力，列出方程，發(fā)現(xiàn)方程完備性不夠，即未知數(shù)比方程數(shù)多，關(guān)鍵在于， m1與 m2的運(yùn)動(dòng)有聯(lián)系的， m1沿地面運(yùn)動(dòng)， m2沿斜面運(yùn)動(dòng)，這就是約束條件。取地面作為參考系，則 m2的運(yùn)動(dòng)為： xamN 2sin ?? ? （ 1） yamgmN 22c o s ??? （ 2） m1的運(yùn)動(dòng)方程為： 11sinN ma? ? （ 3） 下面列出約束條件的方程：取 m1作為參考系，設(shè) m2在其中的相對(duì)加速度為 a? ，在 x,y方向的分量分別為 ?xa 與 ?ya ，那么：xyaa????tan 利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式， 21a a a??? 所以： 1xxa a a? ?? yy aa ?? 于是：1ta nyyxxaaa a a? ???? ? 即： 1si n c os si nxya a a? ? ??? （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3） （ 4）聯(lián)立，計(jì)算可得： 21 212sin co ssinmagmm???? ? ； 12 212sin c o ssinmagmm????? ? ； 12 2( ) sinsinmmag???? ? ? 相互作用力 N= gmm mm ??221 21 sincos? 210. 一小環(huán)套在光滑細(xì)桿上，細(xì)桿以傾角 ? 繞豎直軸作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為 ? ，求：小環(huán)平衡時(shí)距桿端點(diǎn) O 的距離 r . 13 z r ? O 解：根據(jù)題意，當(dāng)小環(huán)能平衡時(shí)，其運(yùn)動(dòng)為繞 Z軸的圓周運(yùn)動(dòng)，所以可列式： mgN ??sin ??? sinco s 2 rmN ? 所以，可得：??? sintan2 gr ? 211. 設(shè)質(zhì)量為 m 的帶電微粒受到沿 x 方向的電力 iF )( cxb?? ，計(jì)算粒子在任一時(shí)刻 t 的速度和位置，假定0?t 時(shí)， 0,0 00 ?? xv .其中 cb、 為與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)， m 、 F 、 x 、 t 的單位分別為 kg 、 N 、 m 、 s . 解：根據(jù)題意和牛頓第二定律，可列式：22)( dtdmcxb x??? iF ， 整理可得二階微分方程： 022 ??? bcxdtdm x 。 令 mc?2? 下面分 c為正負(fù)再做進(jìn)一步討論。 當(dāng) 00 222 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ，可得： cbtcbx ?? ?cos 一次求導(dǎo)，得到： tcbv ??sin?? 當(dāng) 00 222 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ， 可得： cbeecbx tt ??? ? )(2 ?? 一次求導(dǎo)，得到： )(2 tt eecbv ??? ??? 212. 在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為 R ，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為 ? ，在 0?t 時(shí)，球的速率為 0v ，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。 解：在法向上有 RvmN 2? 而 Nμf ? 在切向上有 dtdvmf ?? 由上面三個(gè)式子可得 Rvμdtdv 2?? 14 dtRμdvv tvv ?? ?? 020 1 tμvR Rvv 00?? )1l n( 00 000 RtμvμRtμvR dtRvv dtS tt ????? ?? 思考題 2 21. 質(zhì)量為 m的小球，放在光滑的木板 和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示．設(shè)木板和墻壁之間的夾角為 ，當(dāng) 逐漸增大時(shí)，小球?qū)δ景宓膲毫⒃鯓幼兓? 解：假設(shè)墻壁對(duì)小球的壓力為 N1，木板對(duì)小球的壓力為 N2。 由受力分析圖可知： mgN ??sin2 所以當(dāng)所以 ? 增大，小球?qū)δ景宓膲毫?N2將減小； 同時(shí)： 12 cos NN ?? ?mgctgN ?1 所以 ? 增大，小球?qū)Ρ?的壓力 1N 也減小。 22. 質(zhì)量分別為 m1和 m2的兩滑塊 A和 B 通過(guò)一輕彈簧水平連結(jié)后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ ，系統(tǒng)在水平拉力 F作用下勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示．如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度 aA和 aB分別為 多