【正文】 箭的加速度 。 在 Oxy 平面上的投影為圓心在原點(diǎn)，半徑為 R 的圓，螺距為 h （ 2） tRdtdxvx ?? sin??? 2222224 ?? hRvvvv zyx ????? （ 3） tRax ?? cos2?? tRa y ?? sin2?? 0?za 222 ?Raaa yx ??? 思考題 1 11. 質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度為 v ，瞬時(shí)速率為 v ，平均速度為 v ，平均速率為 v ，則它們之間的下列四種關(guān)系中哪一種是正確的 ? （ 1） vv ?? vv , ；（ 2） vv ?? vv , ；（ 3） vv ?? vv , ；（ 4） vv ?? vv , 答： （ 3） 12. 質(zhì)點(diǎn)的 tx~ 關(guān)系如圖，圖中 a ， b ， c 三條線表示三個(gè)速度不同的運(yùn)動(dòng)．問它們屬于什么類型的運(yùn)動(dòng) ?哪一個(gè)速度大？哪一個(gè)速度小？ 答： cba vvv ?? 13. 結(jié)合 tv~ 圖，說明平均加速度和瞬時(shí)加速度的幾何意義。 15. 如圖所示，兩船 A 和 B 相距 R ，分別以速度 Av 和 Bv 勻速直線行駛，它們會(huì)不會(huì)相碰 ?若不相 碰，求兩船相靠最近的距離．圖中 ? 和 ? 為已知。 22. 一條質(zhì)量分布均勻的繩子，質(zhì)量為 M 、長度為 L ，一端拴在豎直轉(zhuǎn)軸 OO′ 上，并以恒定角速度 ? 在水平面上旋轉(zhuǎn)．設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)過程中繩子始終伸直不打彎，且忽略重力，求距轉(zhuǎn)軸為 r處繩中的張力 T( r)． 解：在繩子中距離轉(zhuǎn)軸為 r處取一小段繩子，假設(shè)其質(zhì)量為 dm，可知： LMddm? ，分析這 dm的繩子的受力情況，因?yàn)樗龅氖菆A周運(yùn)動(dòng)，所以我們 可列出： LM drrr dmrdT 22 ?? ??）（ 。 解：在斜面具有不同的加速度的時(shí)候，木塊將分別具有向上和向下滑動(dòng)的趨勢(shì)，這就是加速度的兩個(gè)范圍，由題意，可得： （ 1 ）當(dāng)木塊具有向下滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖 a ）， 列 式 為 ：mgNN ?? ??? c o ss in maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的?? ??tan1tan1 ? ??a g （ 2）當(dāng)木快具有向上滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)（見圖 b），列式為 ： ??? c o ss in NmgN ?? maNN ?? ??? c o ss in 可計(jì)算得到：此時(shí)的?? ??tan1tan2 ? ??a g 所以 ta n ta n1 ta n 1 ta ng a g? ? ? ?? ? ? ??????? 11 27. 一質(zhì)量為 M、頂角為 ? 的三角形光滑物體上。取地面作為參考系，則 m的運(yùn)動(dòng)為： sin xN ma??? （ 1） cos yN mg ma? ?? （ 2） M 的運(yùn)動(dòng)方程為： sin MN Ma? ? （ 3） 下面列出約束條件的方程：取 M 作為參考系，設(shè) m 在其中的相對(duì)加速度為 a? ，在 x,y方向的分量分別為 ?xa 與 ?ya ，那么： tan yxaa? ?? ? 利用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的公式， aaa Mm ??? 所以： Mxx aaa ??? yy aa ?? 于是： ta n yyx x Maaa a a? ???? ? 即： si n c os si nx y Ma a a? ? ??? （ 4） 由（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）聯(lián)立，計(jì)算可得： 2sin co ssinM magMm???? ? 28. 圓柱形容器內(nèi)裝有一定量的液體，若它們一起繞圓柱軸以角速度 ? 勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試問穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面的形狀如何？ 解： 受力分析如圖 ymsinN 2ωΔα ? （ 1） mgcosN Δα ? （ 2） 兩式相比 dydzg ytan2 ?? ωα 12 dygydz2? ?? ω Cygωz ?? 222 當(dāng) 0?y 時(shí) 0zz? 所以 0zC? 0222 zygωz ?? 穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時(shí)液面是一個(gè)拋物面 由于旋轉(zhuǎn)后成為立體，故方程變?yōu)椤?2 220()2z x y zg?? ? ?】 29. 質(zhì)量為 2m 的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動(dòng)，劈形物質(zhì)量為 1m ，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為 ? ，求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。 當(dāng) 00 222 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ，可得： cbtcbx ?? ?cos 一次求導(dǎo)，得到： tcbv ??sin?? 當(dāng) 00 222 ??? mbxdtdc ?x時(shí)，? ， 可得： cbeecbx tt ??? ? )(2 ?? 一次求導(dǎo)，得到： )(2 tt eecbv ??? ??? 212. 在光滑的水平面上設(shè)置一豎直的圓筒，半徑為 R ，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)，摩擦系數(shù)為 ? ，在 0?t 時(shí)，球的速率為 0v ，求任一時(shí)刻球的速率和運(yùn)動(dòng)路程。 角 )，將一重為 G的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力 F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù) 的大小為多少？ 解：假設(shè)墻壁對(duì)木塊的壓力為 N，由受力分析圖可知： NGF ?? ??sin ?cosFN ? 整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力 F，都不能使木塊向上滑動(dòng)，則說明： FGF 2321 ??? 即當(dāng) FF 2321 ?? 此式中 F 無論為多大，總成立，則可得： 33?? 15 24. 質(zhì)量分別為 m 和 M 的滑塊 A 和 B ，疊放在光滑水平桌面上，如圖所示． A 、 B 間靜摩擦系數(shù)為 s? ，滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 k? ，系統(tǒng)原處于靜止．今有一水平力作用于 A 上，要使 A 、B 不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，則 F 應(yīng)取什么范圍？ 解：根據(jù)題意，分別對(duì) A， B 進(jìn)行受力分析，要使 A， B不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，必須使兩者具有相同的加速度，所以列式： MmgMmFa smsx ???? 可得： gM MmmFs ）（ ??? 25. 如圖，物體 A、 B質(zhì)量相同， B 在光滑水平桌面上．滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計(jì)，滑輪與其軸之間的摩擦也不計(jì)．系統(tǒng)無初速地釋放，則物體 A下落的加速度是多少？ 解：分別對(duì) A， B 進(jìn)行受力分析，由受力分析圖可知： 111 amTgm ?? 222 amT? 12 21aa ? 則可計(jì)算得到： ga 541? 26. 如圖所示，假 設(shè)物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光滑的，在從 A至 C的下滑過程中，下面哪個(gè)說法是正確的？ (A) 它的加速度大小不變，方向永遠(yuǎn)指向圓心。 (E) 軌道支持力的大小不斷增加。 下滑過程中的 θ 和 v都在增大，所以 N也在增大， RvmmgN 2sin ?? ? 則 E的說法正確。 ． (D) 15176。 對(duì)于 a圖，在剪斷繩子的瞬間，彈簧的伸長沒有變化，所以彈簧的拉力 F 不變，A 的加速度應(yīng)該是由重力和彈簧的拉力提供的合力 T，所以： maTF ???sin mgF ??cos 所以加速度大小為： ?tanga? ，方向?yàn)樗椒较颉? ma45sinT 0 ? （ 1） ma45sinTmg 0 ?? （ 2） 兩式聯(lián)立消去 a 2mg245sin2 mgT0 ?? 17 習(xí)題 3 31. 如圖，一質(zhì)點(diǎn)在幾個(gè)力作用下沿半徑為 R=20m 的圓周運(yùn)動(dòng)，其中有一恒力 F=，求質(zhì)點(diǎn)從 A開始沿逆時(shí)針方向經(jīng) 3/4圓周到達(dá) B的過程中，力 F所做的功。 分析： Wf直接求解顯然有困難，所以使用動(dòng)能定理，那就要知道它的末速度的情況。其中 pE 的單位為 J ， zyx 、 的單位為 m ， F 的單位為 N . 解：（ 1）由作用力和勢(shì)能的關(guān)系： kjiF cbxbyaxr czbx yaxrE P ????? ?????????? )2()( 2 （ 2）取一個(gè)比較簡單的積分路徑： kjir dzdydx ??? ，則積分可得： )(])2[( kjikjidrF dzdydxcbxbyaxW ????????? ?? =9a9b3c 38. 輕彈簧 AB 的上端 A 固定，下端 B 懸掛質(zhì)量為 m 的重物。 19 解：（ 1）取彈簧原長位置 O? 為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)，則重物在任一位置 P （坐標(biāo)設(shè)為 x? ）時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能： 2P 21E xkxmg ????? （ 2）取力的平衡位置 O 為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)，則重物在任一位置 P （坐標(biāo)設(shè)為 x ）時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能：02020P 2121Ekxmgkxxxkmg x??????而）（ 所以 22020P 212121E kxkxxxkm gx ?????? ）（ 39. 在密度為 1? 的液面上方，懸掛一根長為 l ，密度為 2? 的均勻棒 AB ，棒的 B 端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細(xì)繩，設(shè)細(xì)棒只在浮力和重力作用下運(yùn)動(dòng)，在1212 ??? ??的條件下，求細(xì)棒下落過程中的最大速度 maxv ，以及細(xì)棒能進(jìn)入液體的最大深度 H 。提供衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的力為萬有引力：202 rMmGrvm ? ，所以 2012 ?? Rrvv 在這個(gè)過程中阻力的作用時(shí)間可通過動(dòng)量定理求出： mdvkvdtfdt ??? 通過分離變量取積分，可 20 得： 2121l n l n 2vvvm m mt d t d vk v k v k? ? ? ? ??? 311. 一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長度由桌邊下垂，設(shè)鏈條長為 L ，質(zhì)量為 m ，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？ 解：直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化，來求做功，則： 1 1 14 8 3 2PW E m g l m g l? ? ? ? ? 312. 起重機(jī)用鋼絲繩吊運(yùn)質(zhì)量為 m 的物體時(shí)以速率 0v 勻速下降，當(dāng)起重機(jī)突然剎車時(shí)，因物體仍有慣性運(yùn)動(dòng)使鋼絲繩有微小伸長。 （ 1）若選取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，計(jì)算地面處的勢(shì)能； （ 2）若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能．比較兩種情況下的勢(shì)能差． 21 解：（ 1）取無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，計(jì)算地面處的勢(shì)能為：ee211bearP eRrE f d r G m m d r G m mrR?? ? ? ? ? ??? （ 2）若選取地面處勢(shì)能為零，計(jì)算無窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能為： ee211ebaRrerE f d r G m m d r G m mrR? ?? ? ? ? ??? 兩種情況下勢(shì)能差是完全一樣的。 32. 敘述質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能變化定理，寫出它們的表達(dá)式，指出定理的成立條件。即質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量等于外力和內(nèi)力做功之和。 35. 在勁度系數(shù)為 k 的彈簧下，如將質(zhì)量為 m 的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長多少 ?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少 ? 答：如將質(zhì)量為 m 的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長為 mg=kx，所以 kmgx? 如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長應(yīng)滿足能量守恒： 221kxmgx? ，所以 kmgx 2? 36. 試根據(jù)力場(chǎng)的力矢量分布圖判斷哪些力場(chǎng)一定是非保守的 ? 圖 [d]、 [f]為非保守力，因?yàn)槿绻麑?duì)其取環(huán)路積分必定不為 零。 重力產(chǎn)生的沖量 mg/ ；所以拉力產(chǎn)生的沖量 mg ，方向?yàn)樨Q直向上。 解： （ 1） 由做功的定義可知： JSvF dtvF v dtF dxW x 21 ?????? ??? 橢圓 （ 2）由動(dòng)能定理可知，當(dāng)物體速度不變時(shí)，外力做的總功為零 ，所以當(dāng)該 F 做的功為 時(shí)，其他的力的功為。今有一質(zhì)量為 m=20g 的子彈以 0v =600m/s的水平速度射穿物體。（ 1）求核反沖動(dòng)量的大小和方向；（ 2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為 26?? ，求其反沖動(dòng)能。 解：（ 1）由 3/104400 5 tF ??? 和子彈離開槍口處合力剛好為零，則可以得到： 03/104400 5 ???? tF 算出 t=。問第二塊碎片落在何處。今用力推 B 塊，使彈簧壓縮 0x 然后釋放。（ 1）假設(shè)碰撞是完全非彈性的；（ 2）假設(shè)碰撞是完全彈性的；（ 3）假設(shè)碰撞的恢復(fù)系數(shù) ?e . 解：由碰撞過程動(dòng)量守恒以及附加條件，可得