高考圓錐曲線中的定點及定值問題(編輯修改稿)
2025-05-14 12:58 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 則可得，又，∴ .，故.當(dāng)直線平行于軸時，易知，結(jié)論顯然成立.綜上，可知為定值1.有，則∵，綜合可得： ∴橢圓的方程為： . （2）由（1）知，直線的方程為： 即： ，所以∴.∵，∴ 的方程為，令，可得，∴ 則又點到直線的距離為，∴.∴.當(dāng)直線平行于軸時，易知，結(jié)論顯然成立.綜上， .【點睛】本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，是解析幾何的綜合應(yīng)用，難度較大．10．【云南省玉溪第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點,O為坐標(biāo)原點．(1) 如果直線過拋物線的焦點且斜率為1，求的值；（2）如果，證明：直線必過一定點，并求出該定點.【答案】（1）8；（2）證明見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程得到焦點的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦長；（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于﹣4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標(biāo)．令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直線l過定點(2,0)．∴若＝－4，則直線l必過一定點．點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).11．【黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)20172018學(xué)年高二上學(xué)期期中】已知橢圓，且橢圓上任意一點到左焦點的最大距離為，最小距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由.【答案】(1) 橢圓方程為。(2) 以線段為直徑的圓恒過點.當(dāng)與軸平行時，以線段為直徑的圓的方程為.故若存在定點，則的坐標(biāo)只可能為.下面證明為所求：若直線的斜率不存在，上述己經(jīng)證明. 若直線的斜率存在，設(shè)直線， ，∴，即以線段為直徑的圓恒過點.點睛：這個題是圓錐曲線中的典型題目，證明定值定點問題。第一問考查幾何意義，第二問是常見的將圖的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將垂直轉(zhuǎn)化為向量點積為0 ，再者就是向量坐標(biāo)化的意識。還有就是這種證明直線過定點問題，可以先通過特殊位置猜出結(jié)果，再證明。12．【四川省成都市新津中學(xué)2018屆高三11月月考】已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求證： 為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率，求得，由，得，將點代入，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)， 直線的方程是與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)，根據(jù)兩點間的距離公式將用 表示，化簡后消去即可得結(jié)果. （定值），為定值.【方法點睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、韋達(dá)定理的應(yīng)用以及圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.13．【北京朝陽日壇中學(xué)20162017學(xué)年高二上學(xué)期期中】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點，斜率為的直線與橢圓交于， 兩點， 為坐標(biāo)原點．（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（II）設(shè)，延長， 分別與橢圓交于， 兩點，直線的斜率為，求證： 為定值．【答案】（I）；（II）見解析.【解析】試題分析：（I）依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。
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