解析幾何中的定點和定值問題(編輯修改稿)
2025-04-21 07:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 程整理得又∵ ， 例已知，橢圓C過點A，兩個焦點為（－1，0），（1，0）。（1） 求橢圓C的方程； （2） E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。解析：（1）由題意，c=1,可設橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。 （2）設直線AE方程為：，代入得 設,因為點在橢圓上，所以 ， 又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以—K代K，可得， 所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為。 將第二問的結(jié)論進行如下推廣：、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。證明：直線AE的方程為，則直線AF的方程為， 聯(lián)立和，消去y可得 、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。、F兩點，則直線EF的斜率為定值（常數(shù)）。例已知橢圓的中心在原點，焦點在軸的非負半軸上，點到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點距離的最大值是6.(Ⅰ)求橢圓的標準方程和離心率；(Ⅱ)若為焦點關(guān)于直線的對稱點，動點滿足，問是否存在一個定點，使到點的距離為定值？若存在，求出點的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.解析：(Ⅰ)設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得. 所以橢圓的標準方程為. 離心率 (Ⅱ),設由得化簡得，即故存在一個定點，使到點的距離為定值，其定值為 例已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，P(2，0)為定點．(Ⅰ)若點P為拋物線的焦點，求拋物線C的方程；(Ⅱ)若動圓M過點P，且圓心M在拋物線C上運動，點A、B是圓M與軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由．解析：(Ⅰ) 設拋物線方程為，，即，故拋物線C的方程是． (Ⅱ)設圓心()，點A，B. 因為圓過點P(2，0)，則可設圓M的方程為. 令，. 所以. ，設拋物線C的方程為，因為圓心M在拋物線C上，則. 所以. 由此可得，當時，為定值．故存在一條拋物線，使|AB|為定值4. 例已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，離心率為﹒ （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個定點的坐標；若不存在，請說明理由﹒解析：（I）設橢圓E的方程為,由已知得： 。2分橢圓E的方程為。 3分（Ⅱ）法一：假設存在符合條件的點，又設，則：。 5分①當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，則由得 7分所以 9分對于任意的值，為定值，所以，得，所以； 11分②當直線的斜率不存在時，直線由得綜上述①②知，符合條件的點存在，起坐標為﹒ 13分法二：假設存在點，又設則：=…. 5分①當直線的斜率不為0時，設直線的方程為，由得 7分 9分設則 11分②當直線的斜率為0時，直線，由得：綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標為 。13分三、 定直線問題例設橢圓過點，且焦點為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上解析： (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)設點，由題設，均不為零。且 又 四點共線，可設,于是
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