專題-橢圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題(編輯修改稿)
2025-04-20 05:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Q互相垂直，且和圓R相切，所以，即，①又點(diǎn)R在橢圓C上，所以，②聯(lián)立①②，解得所以所求圓R的方程為．（2）因?yàn)橹本€OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，所以，化簡(jiǎn)得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因?yàn)辄c(diǎn)R（x0，y0）在橢圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：法一：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）當(dāng)直線ξ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．法二：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），因?yàn)?k1k2+1=0，所以，即，因?yàn)镻（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以O(shè)P2+OQ2=36． （ii）當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．10．已知橢圓C：，左焦點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題意可知，解得， 所以橢圓的方程為． （2）由方程組 得， 整理得， 設(shè)，則， 由已知，即，又橢圓的右頂點(diǎn)為，所以，∵， ∴， 即．整理得， 解得或均滿足．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)，故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．已知橢圓:的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，是否存在圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為定值的定圓C，使得與圓C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)，記直線， 的斜率分別為，滿足為定值，若存在，求出定圓的方程并求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（Ⅰ）由題意，得，a2=b2+c2，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，解得a=2，b=1，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5．證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x2+y2=r2（r＞0）．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+m．由方程組得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0，因?yàn)橹本€l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即m2=4k2+1．由方程組得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，則．設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則，設(shè)直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以，將m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2為定值，則，即r2=5，驗(yàn)證符合題意．所以當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足k1k2為定值．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由題意知l的方程為x=177。2，此時(shí)，圓x2+y2=5與l的交點(diǎn)P1，P2也滿足．綜上，當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時(shí)，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足斜率之積k1k2為定值．12．已知橢圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓方程；（2）過(guò)橢圓右頂點(diǎn)的兩條斜率乘積為的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)，試問(wèn)：直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出此定點(diǎn)，若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）根據(jù)題意．當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，∴，∴（舍）．∴直線過(guò)定點(diǎn)(0,0)，當(dāng)斜率不存在時(shí)也符合，即直線恒過(guò)定點(diǎn)(0,0)．14．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的
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