20xx1874130破解橢圓中最值問題的常見策略(編輯修改稿)
2024-10-10 13:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圓的右焦點(diǎn)，如圖作 AA l39。? 于 A39。， y O x F2 F1 A2 A1 P M BB39。⊥ l 于 B39。， MM39。⊥ l 于 M39。，則 ? ? edeABBFAFeeBFeAFBBAAMM 2221212 || /// ???????????? ???? 當(dāng)且僅當(dāng) AB 過焦點(diǎn) F 時(shí)等號(hào)成立。故 M 到橢圓右準(zhǔn)線的最短距離為 de2。 點(diǎn)評(píng) ： 22ba 是橢圓的通徑長(zhǎng)，是橢圓焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的最小值， d ba?2 2 是 AB 過焦點(diǎn)的充要條件。通過定義轉(zhuǎn)化避免各種煩瑣的運(yùn)算過程。 第三類：求角的最值問題 例 5：（ 05 年浙江） 如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn) F1， F2在 x軸上，長(zhǎng)軸 A1A2的長(zhǎng)為 4，左準(zhǔn)線 l 與 x 軸的交點(diǎn)為 M， |MA1|∶ |A1F1|＝ 2∶ 1。 (Ⅰ )求橢圓的方程； (Ⅱ )若直線 l1： x＝ m(|m|＞ 1)， P 為 l1上的動(dòng)點(diǎn)，使∠ F1PF2最大的點(diǎn) P 記為 Q，求點(diǎn) Q 的坐標(biāo) (并 用 m 表示 ) 。 分析：本題考查解析幾何中 角 的最值問題常采用到角 （夾角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，結(jié)合 本題的實(shí)際 ， 考慮用夾角公式較為妥當(dāng)。 解：（Ｉ）（過程略） 22143yx ?? （ II）設(shè) P( 0, ),| | 1m y m? ①當(dāng) 0 0y? 時(shí)， 120FPF?? ②當(dāng) 0 0y? 時(shí) , 1 2 10 2F P F P F M ?? ? ? ? ? ?只需求 12tan FPF? 的最大值即可。 直線 1PF 的斜率 01 1yK m? ?，直線 2PF 的斜率 02 ,1yK m? ?利用夾角公式得： 02112 221 2 02 | |ta n | |11 yKKF P F K K m y?? ? ? ?? ? ?11||12 ||2202 0 ????? mymy 當(dāng)且僅當(dāng) 2 1m? = 0||y 時(shí)， 12FPF? 最大，最大值為11arctan 2 ?m。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于此類最值問題關(guān)鍵是如何將角的最值問題轉(zhuǎn)化成解析幾何中的相關(guān)知識(shí)最值問題，一般可用到角（夾角）公式、余弦定理、向量夾角進(jìn)行轉(zhuǎn)化 為求分式函數(shù)的值域 問題 。 第四類：求（三角形、四邊形等）面積的最值問題 例 6： （ 05 年全國(guó) II） P 、 Q 、 M 、 N 四點(diǎn)都在橢圓 22 12yx ??
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