橢圓中的定點定值問題(編輯修改稿)
2025-04-21 04:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 Q互相垂直，且和圓R相切，所以，即，①又點R在橢圓C上，所以，②聯(lián)立①②，解得所以所求圓R的方程為．（2）因為直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，所以，化簡得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個不相等的實數(shù)根，因為點R（x0，y0）在橢圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：法一：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）當直線ξ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．法二：（i）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），因為2k1k2+1=0，所以，即，因為P（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以OP2+OQ2=36． （ii）當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．10．已知橢圓C：，左焦點，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：（）與橢圓交于不同的兩點，（，不是左、右頂點），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出定點的坐標．解：（1）由題意可知，解得， 所以橢圓的方程為． （2）由方程組 得， 整理得， 設，則， 由已知，即，又橢圓的右頂點為，所以，∵， ∴， 即．整理得， 解得或均滿足．當時，直線的方程為，過定點，與題意矛盾，舍去；當時，直線的方程為，過定點，故直線過定點，且定點的坐標為．11．已知橢圓:的離心率為，點在橢圓C上，O為坐標原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設動直線與橢圓有且僅有一個公共點，是否存在圓心在坐標原點，半徑為定值的定圓C，使得與圓C相交于不在坐標軸上的兩點，記直線， 的斜率分別為，滿足為定值，若存在，求出定圓的方程并求出的值，若不存在，請說明理由.解：（Ⅰ）由題意，得，a2=b2+c2，又因為點在橢圓C上，所以，解得a=2，b=1，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5．證明如下：假設存在符合條件的圓，并設此圓的方程為x2+y2=r2（r＞0）．當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m．由方程組得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0，因為直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，所以，即m2=4k2+1．由方程組得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，則．設P1（x1，y1），P2（x2，y2），則，設直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以，將m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2為定值，則，即r2=5，驗證符合題意．所以當圓的方程為x2+y2=5時，圓與l的交點P1，P2滿足k1k2為定值．當直線l的斜率不存在時，由題意知l的方程為x=177。2，此時，圓x2+y2=5與l的交點P1，P2也滿足．綜上，當圓的方程為x2+y2=5時，圓與l的交點P1，P2滿足斜率之積k1k2為定值．12．已知橢圓，經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形．（1）求橢圓方程；（2）過橢圓右頂點的兩條斜率乘積為的直線分別交橢圓于兩點，試問：直線是否過定點？若過定點，請求出此定點，若不過，請說明理由．解：（1）根據(jù)題意．當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，∴，∴（舍）．∴直線過定點(0,0)，當斜率不存在時也符合，即直線恒過定點(0,0)．14．已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的
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