橢圓中的定點(diǎn)定值問題-閱讀頁(yè)
2025-04-09 04:50本頁(yè)面
【正文】 ，使得直線NA與NB的斜率之積為定值．18．在平角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率，且過點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，定直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在定點(diǎn)經(jīng)過以為直徑的圓，若存在，求定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1），∴橢圓的方程為；設(shè)，的斜率分別為，則，由：知，由：知，∴的中點(diǎn)，∴以為直徑的圓的方程為，令，∴，∴，∴，即，解得或，∴存在定點(diǎn)，經(jīng)過以為直徑的圓．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)、），連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接、并分別延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，連接，設(shè)直線、的斜率存在且分別為、．試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．解：（1）∵，∴，∵，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，從而，左焦點(diǎn)，故橢圓的方程為；（2）存在滿足條件的常數(shù)，設(shè)，則直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，∵，∴，從而，故點(diǎn)， 同理，點(diǎn)，∵三點(diǎn)共線，∴，從而，從而，故，從而存在滿足條件的常數(shù)，．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)．xOy BPEA （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連結(jié)點(diǎn)與原點(diǎn)的直線交橢圓于另一點(diǎn)，求的面積；（2）是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）將代入，解得，因點(diǎn)在第一象限，從而，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，解得，又過原點(diǎn)，于是，所以直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離， （2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得為定值，設(shè)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，有當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由，解得，所以若存在點(diǎn)，此時(shí)，為定值2．根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮直線過點(diǎn)，設(shè)，又設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，所以，又，所以，將上述關(guān)系代入，化簡(jiǎn)可得．綜上所述，存在點(diǎn)，使得為定值2．21．已知橢圓：的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍；（3）在（2）的條件下，證明直線與軸相交于定點(diǎn)．解：⑴由題意知，所以，即，又因?yàn)椋?，故橢圓的方程為：．…4分⑵由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為 ①聯(lián)立消去得：，由得，又不合題意，所以直線的斜率的取值范圍是或．⑶設(shè)點(diǎn)，則，直線的方程為， 令，得，將代入整理，得． ②由得①代入②整理，得，所以直線與軸相交于定點(diǎn)．22．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為4，且有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求橢圓的方程；（2）已知過定點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使得始終平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓的短軸長(zhǎng)為4，又拋物線的焦點(diǎn)為，則所求橢圓方程為；（2）設(shè)代入橢圓方程整理得：，則假設(shè)存在定點(diǎn)使得平分，則①要使得①對(duì)于恒成立，則，故存在定點(diǎn)使得平分，坐標(biāo)為．23．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，連接分別交直線于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為，試問：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由．解：（1）由題意得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)，直線的方程為，由，由三點(diǎn)共線可知同理可得，所以．
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