高考圓錐曲線中的定點與定值問題題型總結(jié)超全資料-閱讀頁
2025-05-02 12:43本頁面
【正文】 標平面上是否存在一個定點，使得以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.【答案】(1) 橢圓方程為。第一問考查幾何意義，第二問是常見的將圖的垂直關(guān)系，轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，將垂直轉(zhuǎn)化為向量點積為0 ，再者就是向量坐標化的意識。12．【四川省成都市新津中學2018屆高三11月月考】已知橢圓的離心率為，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓長軸上的一個動點，過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，求證： 為定值.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率，求得，由，得，將點代入，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)， 直線的方程是與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達，根據(jù)兩點間的距離公式將用 表示，化簡后消去即可得結(jié)果. （定值），為定值.【方法點睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標準方程、韋達定理的應(yīng)用以及圓錐曲線的定值問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.13．【北京朝陽日壇中學20162017學年高二上學期期中】已知橢圓的離心率為，半焦距為，且，經(jīng)過橢圓的左焦點，斜率為的直線與橢圓交于， 兩點， 為坐標原點．（I）求橢圓的標準方程．（II）設(shè)，延長， 分別與橢圓交于， 兩點，直線的斜率為，求證： 為定值．【答案】（I）；（II）見解析.【解析】試題分析：（I）依題意,得,再由求得,從而可得橢圓的標準方程。k2是否為定值？【答案】(1) (2) k1k2＝－證明原式．試題解析：(1)設(shè)點P(x，y)，依題意，有＝.整理，得＋＝＋＝1.(2)由題意，設(shè)N(x1，y1)，A(x2，y2)，則B(－x2，－y2)，＋＝1，＋＝＝＝＝－，為定值．15．【河北省雞澤縣第一中學20172018學年高二10月月考】如圖，已知橢圓的左焦點為，過點F做x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，且．(1)求橢圓C的標準方程：(2)若M，N為橢圓上異于點A的兩點，且直線的傾斜角互補，問直線MN的斜率是否為定值?若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．【答案】(1) 。（2）由（1）知拋物線的方程，及，設(shè)過點的直線的方程為,代入得,由韋達定理可求得為定值上。(2)由(1)求出M的坐標,設(shè)出直線DE的方程 ,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點縱坐標的和與積,利用 得到t與m的關(guān)系,進一步得到DE方程,由直線系方程可得直線DE所過定點.（2）由（1）可得點，可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為： ，聯(lián)立，得，則①.設(shè)，則.∴，即或，代人①式檢驗均滿足，∴直線的方程為： 或.∴直線過定點（定點不滿足題意，故舍去）. 點睛:拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．20．【云南省昆明一中2018屆高三第一次摸底測試】已知動點滿足： .（1）求動點的軌跡的方程；（2）設(shè)過點的直線與曲線交于兩點，點關(guān)于軸的對稱點為（點與點不重合），證明：直線恒過定點，并求該定點的坐標.【答案】（1）；（2）直線過定點 ，證明見解析.【解析】試題分析：（1）動點到點， 的距離之和為，且，所以動點的軌跡為橢圓，從而可求動點的軌跡的方程；（2）直線的方程為： ，由 得，根據(jù)韋達定理可得，直線的方程為，即可證明其過定點.所以， ， 直線的方程為： ，所以，令，則，所以直線與軸交于定點. 24
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