橢圓中的定點(diǎn)定值問題-免費(fèi)閱讀
【正文】 d＝＝1，∴2|m|當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A（，0）B（，0）則（，0）（，0）=，符合題意。解：（1）由題意知c=1．由橢圓定義得，即 3分 ∴，橢圓C方程為．（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得恒成立。解：（Ⅰ）由題設(shè)可求得，又，則，所以橢圓的方程是．（Ⅱ）若直線與軸重合，則以為直徑的圓為，若直線垂直于軸，則以為直徑的圓為，由，解得，由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是．事實(shí)上點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，證明如下：當(dāng)直線的斜率不存在，即直線與軸重合時(shí)，以為直徑的圓為，過點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋杂?，所以，即以為直徑的圓恒定過點(diǎn)，綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件．17．已知直線l：y＝x＋，圓O：x2＋y2＝4，橢圓E：＋＝1（a＞b＞0）的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．（1）求橢圓E的方程；（2）已知?jiǎng)又本€（斜率存在）與橢圓E交于P，Q兩個(gè)不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ＝1，若N為線段PQ的中點(diǎn)，問：在x軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得直線NA與NB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．解：（1）設(shè)橢圓半焦距為c，圓心O到l的距離d＝＝，則l被圓O截得的弦長為2，所以b＝1，由題意得e＝，∵b＝1，∴a2＝4，b2＝1．∴橢圓E的方程為＋＝1．（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l1的方程為：y＝kx＋m．則消去y得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0．x1＋x2＝－，x1＝－1，由當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（1，0）也滿足，∴點(diǎn)P（x，y）點(diǎn)在橢圓上，∴存在點(diǎn)M，N其坐標(biāo)分別為（0，﹣1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1，設(shè)R（x0，y0）是橢圓C上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q．（1）若直線OP，OQ互相垂直，求圓R的方程；（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：2k1k2+1=0；（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．解：（1）由圓R的方程知，圓R的半徑的半徑，因?yàn)橹本€OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，所以，即，①又點(diǎn)R在橢圓C上，所以，②聯(lián)立①②，解得所以所求圓R的方程為．（2）因?yàn)橹本€OP：y=k1x，OQ：y=k2x，與圓R相切，所以，化簡得=0同理，所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因?yàn)辄c(diǎn)R（x0，y0）在橢圓C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值為36，理由如下：法一：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立解得所以，同理，得，由，所以====36（ii）當(dāng)直線ξ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．法二：（i）當(dāng)直線OP，OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），因?yàn)?k1k2+1=0，所以，即，因?yàn)镻（x1，y1），Q（x2，y2），在橢圓C上，所以，即，所以，整理得，所以，所以O(shè)P2+OQ2=36． （ii）當(dāng)直線OP，OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí)，顯然有OP2+OQ2=36，綜上：OP2+OQ2=36．10．已知橢圓C：，左焦點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）若直線：（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，（，不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓
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