橢圓中的定點(diǎn)定值問題(存儲版)
【正文】 的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題意可知，解得， 所以橢圓的方程為． （2）由方程組 得， 整理得， 設(shè)，則， 由已知，即，又橢圓的右頂點(diǎn)為，所以，∵， ∴， 即．整理得， 解得或均滿足．當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)，與題意矛盾，舍去；當(dāng)時，直線的方程為，過定點(diǎn)，故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．11．已知橢圓:的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線與橢圓有且僅有一個公共點(diǎn)，是否存在圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為定值的定圓C，使得與圓C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)，記直線， 的斜率分別為，滿足為定值，若存在，求出定圓的方程并求出的值，若不存在，請說明理由.解：（Ⅰ）由題意，得，a2=b2+c2，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，解得a=2，b=1，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2+y2=5．證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為x2+y2=r2（r＞0）．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+m．由方程組得(4k2+1)x2+8kmx+4m2﹣4=0，因?yàn)橹本€l與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)，所以，即m2=4k2+1．由方程組得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣r2=0，則．設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），則，設(shè)直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以，將m2=4k2+1代入上式，得．要使得k1k2為定值，則，即r2=5，驗(yàn)證符合題意．所以當(dāng)圓的方程為x2+y2=5時，圓與l的交點(diǎn)P1，P2滿足k1k2為定值．當(dāng)直線l的斜率不存在時，由題意知l的方程為x=177。橢圓中的定點(diǎn)定值問題1．已知橢圓C：（）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且（，）在橢圓C上。2．如圖，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)分別在軸和軸上的橢圓，都過點(diǎn)，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)引兩條斜率分別為的直線分別交，于點(diǎn)P，Q，當(dāng)時，問直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．解：（Ⅰ）；（Ⅱ）直線MP的方程為，聯(lián)立橢圓方程得： ，消去y得，則，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：，又，則點(diǎn)Q為：，則直線PQ的方程為：，即,化簡得，即當(dāng)時，故直線PQ過定點(diǎn)．3．已知，橢圓C過點(diǎn)A，兩個焦點(diǎn)為（﹣1，0），（1，0）．（1）求橢圓C的方程；（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．解：（1）由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程為，解得b2=3，（舍去）所以橢圓方程為．（2）設(shè)直線AE方程為：，代入得，設(shè)E（xE，yE），F(xiàn)（xF，yF），因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以由韋達(dá)定理得：，所以，．又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以﹣K代K，可得，所以直線EF的斜率，即直線EF的斜率為定值，其值為．4．已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（0，），離心率為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過左焦點(diǎn)F任作一直線l，交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)．（i）求?的取值范圍；（ii）若直線l不垂直于坐標(biāo)軸，記弦PQ的中點(diǎn)為M，過F作PQ的垂線FN交直線OM于點(diǎn)N，證明：點(diǎn)N在一條定直線上．解：（Ⅰ）由題意可得b=，e==，又a2﹣b2=c2，解得a=，c=2，即有橢圓方程為+=1；（Ⅱ）（i）F（﹣2，0），當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線方程為x=﹣2，可得P（﹣2，），Q（﹣2，﹣），?=4﹣=；當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)l：y=k（
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