解析幾何中的定值和定點(diǎn)問題(編輯修改稿)
2025-04-21 07:47 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.解：(Ⅰ)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率 (Ⅱ),設(shè)由得化簡得，即故存在一個定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為 【例3】．已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，P(2，0)為定點(diǎn)．(Ⅰ)若點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；(Ⅱ)若動圓M過點(diǎn)P，且圓心M在拋物線C上運(yùn)動，點(diǎn)A、B是圓M與軸的兩交點(diǎn)，試推斷是否存在一條拋物線C，使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由．解：(Ⅰ) 設(shè)拋物線方程為，，即，故拋物線C的方程是． (Ⅱ)設(shè)圓心()，點(diǎn)A，B. 因?yàn)閳A過點(diǎn)P(2，0)，則可設(shè)圓M的方程為. 令，. 所以. ，設(shè)拋物線C的方程為，因?yàn)閳A心M在拋物線C上，則. 所以. 由此可得，當(dāng)時，為定值．故存在一條拋物線，使|AB|為定值4. 解析幾何中的定值定點(diǎn)問題（二）已知橢圓C的離心率，長軸的左右端點(diǎn)分別為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由。解法一：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為。 ………………… 1分∵，∴。 ……………… 4分∴橢圓的方程為。 ……………………………………… 5分（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為 …………7分,若，由對稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。…………………8分以下證明對于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上。事實(shí)上，由得即，記，則?！? 9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得……… 10，…∴，即與重合，這說明，當(dāng)變化時，點(diǎn)恒在定直線上。 13分解法二：（Ⅱ）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為 ………………………………………… 7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為∴若交
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