高考圓錐曲線中的定點(diǎn)及定值問(wèn)題-全文預(yù)覽
【正文】 ，點(diǎn)，且滿足．（Ⅰ）求曲線的方程．（Ⅱ）若，直線的斜率為，過(guò)， 兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處共同的切線，求圓的方程．（Ⅲ）分別過(guò)， 作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證： 與均為定值．【答案】(1) (2) (3)見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）由拋物線定義得曲線為拋物線，根據(jù)基本量可得其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）先根據(jù)直線AB方程與拋物線方程解出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率，則得圓心與A連線的直線方程，設(shè)圓一般式方程，利用三個(gè)條件解方程組得圓的方程．（3）設(shè)， ， ，則利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，同理可得，即得兩根為，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)直線AB斜率得，即得AB方程為，因此，再根據(jù)向量數(shù)量積可計(jì)算得=0由，得， ．∵，即，．∴拋物線在點(diǎn)處切線的斜率．∴圓的方程為，整理得．（Ⅲ）設(shè)， ， ，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，同理得，∴， ，又∵，整理得，∴與均為定值．點(diǎn)睛：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．2．定點(diǎn)的探索與證明問(wèn)題(1)探索直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān)．17．【南寧市2018屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考】已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（l）求拋物線的方程；（2）拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合），設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由焦半徑定義和點(diǎn)在拋物線上建立兩個(gè)方程，兩個(gè)未知數(shù)，可求得拋物線方程。k2＝－ 【解析】試題分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P，利用兩點(diǎn)間的距離公式分別表示出P到定直線的距離和到點(diǎn)F的距離的比，建立方程求得x和y的關(guān)系式，即P的軌跡方程．（2）設(shè)出N，A，則B的坐標(biāo)可知，代入圓錐曲線的方程相減后，可求得k1還有就是這種證明直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可以先通過(guò)特殊位置猜出結(jié)果，再證明。 （1）設(shè)，則，∴ ，設(shè)， ，以及， ，由,由橢圓的定義可得，結(jié)合，綜合可得： ，可得橢圓的方程；（2）由（1）知，直線的方程為： ，由此可得.，又∵，∴ 的方程為，可得則可得，又，∴ .，故.當(dāng)直線平行于軸時(shí)，易知，結(jié)論顯然成立.綜上，可知為定值1.有，則∵，綜合可得： ∴橢圓的方程為： . （2）由（1）知，直線的方程為： 即： ，所以∴.∵，∴ 的方程為，令，可得，∴ 則又點(diǎn)到直線的距離為，∴.∴.當(dāng)直線平行于軸時(shí)，易知，結(jié)論顯然成立.綜上， .【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系，是解析幾何的綜合應(yīng)用，難度較大．10．【云南省玉溪第一中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1) 如果直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1，求的值；（2）如果，證明：直線必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn).【答案】（1）8；（2）證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的方程得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出弦長(zhǎng)；（Ⅱ）設(shè)出直線的方程，同拋物線方程聯(lián)立，得到關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出數(shù)量積，根據(jù)數(shù)量積等于﹣4，做出數(shù)量積表示式中的b的值，即得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0)．∴若∴。(2)若過(guò)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.【答案】(1) ,(2) O到直線 的距離為定值.【解析】試題分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)
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