高考圓錐曲線中的定點(diǎn)及定值問題-文庫吧
2025-04-02 12:58 本頁面
【正文】 所以， 為定值.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，其主要思路是聯(lián)立直線和橢圓的方程，整理成關(guān)于或的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，在設(shè)方程時(shí)，往往設(shè)為 ，可減少討論該直線是否存在斜率. 5．【四川省綿陽南山中學(xué)20172018學(xué)年高二上學(xué)期期中考】設(shè)拋物線： ， 為的焦點(diǎn)，過的直線與相交于兩點(diǎn).（1）設(shè)的斜率為1，求；（2）求證： 是一個(gè)定值.【答案】(1) （2）見解析【解析】試題分析：（1）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、弦長公式即可得出；（2）把直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量的數(shù)量積即可得出；（2）證明：設(shè)直線的方程為，由得∴， ，∵，∴是一個(gè)定值.點(diǎn)睛：熟練掌握直線與拋物線的相交問題的解題模式、根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義、過焦點(diǎn)的弦長公式、向量的數(shù)量積是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力,直線方程設(shè)成也給解題帶來了方便.6．【內(nèi)蒙古包頭市第三十三中20162017學(xué)年高一下學(xué)期期末】已知橢圓C: 的離心率為,右焦點(diǎn)為(,0).(1)求橢圓C的方程。(2)若過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:點(diǎn)O到直線AB的距離為定值.【答案】(1) ,(2) O到直線 的距離為定值.【解析】試題分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)和離心率列方程解出a，b，c；（2）對(duì)于AB有無斜率進(jìn)行討論，設(shè)出A，B坐標(biāo)和直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計(jì)算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原點(diǎn)到直線AB的距離 ， 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), ,可得, . 點(diǎn)睛： 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分類討論思想，對(duì)于這類題目要掌握解題方法．設(shè)而不求，套用公式解決．7．【四川省成都市石室中學(xué)20172018學(xué)年高二10月月考】已知雙曲線漸近線方程為， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上．（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）已知為雙曲線上不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】試題分析：（1）根據(jù)漸近線方程得到設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)M的坐標(biāo)求得參數(shù)即可；（2）由條件可得，可設(shè)出直線的方程，代入雙曲線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)可求得。（Ⅱ）由題意知。設(shè)直線方程為，由 ，解得，∴。，可得?！唷?8．【湖南省株洲市醴陵第二中學(xué)、醴陵第四中學(xué)2018屆高三上學(xué)期兩校期中聯(lián)考】已知橢圓E: 經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過定點(diǎn)，如果經(jīng)過定點(diǎn)請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）直線AB過定點(diǎn)Q（0，﹣2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程；（2）先由特殊情況得到結(jié)果，再考慮一般情況，聯(lián)立直線和橢圓得到二次函數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理，和向量坐標(biāo)化的方法，得到結(jié)果。x1+x2=，x1x2=， 又直線PA的方程為y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ），同理可知：N（0， ），當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣2時(shí)，對(duì)任意的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，﹣2）. 9．【廣西桂林市第十八中學(xué)2018屆高三上學(xué)期第三次月考】已知橢圓的左，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，若， ，且的周長為.（1）求橢圓的方程；（2） 設(shè)橢圓在點(diǎn)處的切線記為直線，點(diǎn)在上的射影分別為，過作的垂線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1) 。(2)1.【解析】試題分析。 （1）設(shè)，則，∴ ，設(shè)， ，以及， ，由,由橢圓的定義可得，結(jié)合，綜合可得： ，可得橢圓的方程；（2）由（1）知，直線的方程為： ，由此可得.，又∵，∴ 的方程為，可得
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