排列組合經(jīng)典：涂色問題(編輯修改稿)
2025-04-21 02:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論：SCDAB C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是解法三：可把這個問題轉(zhuǎn)化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有：a) 根據(jù)共用了多少顏色分類討論b) 根據(jù)相對線段是否同色分類討論。例用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色 ，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？解法一：（1）使用四顏色共有種。（2）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有種， ?。?）使用二種顏色時，則兩組對邊必須分別同色，有種 因此，所求的染色方法數(shù)為種解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的順序進行，對AB、BC涂色有種涂色方法。由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： 當CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有種涂色方法。由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為種 例用六種顏色給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同，故有種方法。（2）若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內(nèi)對棱涂同色，但組與組之間不同色，故有種方法。（3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有種方法。（4）若恰用六種顏色涂色，則有種不同的方法。 綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為種。例從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應考慮利用加法原理分類、乘法原理分步進行討論解：根據(jù)共用多少種不同的顏色分類討論（1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側面，則其余3個面有3！種涂色方
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