【文章內(nèi)容簡介】 解： 2422 4 5 960AAA? ? ?另解： 2 5 12 5 4 960A A A? ? ?回目錄 練習(xí) 某城新建的一條道路上有 12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（ ） （ A） 種（ B） 種 （ C） 種 （ D） 種 38C 38A 39C 311C解： 38C回目錄 例 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12張。8個(gè)學(xué)生， 4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？ 解 先排學(xué)生共有 種排法 ,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有 7個(gè)空檔可插 ,選其中的 4個(gè)空檔 ,共有 種選法 .根據(jù)乘法原理 ,共有的不同坐法為 種 . 88P47P 4788 PP結(jié)論 插入法 :對于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題 ,可以用插入法 .即先排好沒有限制條件的元素 ,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可 . 分析 此題涉及到的是不相鄰問題 ,并且是對老師有特殊的要求 ,因此老師是特殊元素 ,在解決時(shí)就要特殊對待 .所涉及問題是排列問題 . 回目錄 小結(jié)： 以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用 “ 捆綁法 ” ；以某些元素不能相鄰為附加條件的 ,可采用“ 插空法 ” 。 “ 插空 ” 有同時(shí)“ 插空 ” 和有逐一 “ 插空 ” ,并要注意條件的限定 . 回目錄 定序問題倍縮空位插入策略 定序問題 例 6 有 4名男生， 3名女生。 3名女生 高矮互不等， 將 7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高 排列，有多少種排法？ 順序固定問題用“除法” 對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù) . 所以共有 種。 473377 AAA ?分析：先在 7個(gè)位置上作全排列，有 種排法。其中 3個(gè)女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只 對應(yīng)一種排法， 33A77A回目錄 定序問題倍縮空位插入策略 例 ,其中甲乙丙 3人順序一定共有多 少不同的排法 解 : (倍縮法 )對于某幾個(gè)元素順序一定的排列 問題 ,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起 進(jìn)行排列 ,然后用總排列數(shù)除以 這幾個(gè)元 素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù) 是： 7733AA（ 空位法 ）設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè) 位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法 47A1 47A思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ? 回目錄 例 6 有 4名男生， 3名女生。 3名女生 高矮互不等， 將 7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高 排列，有多少種排法？ 順序固定問題用“除法” 對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先將這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù) . 所以共有 種。 473377 AAA ?分析：先在 7個(gè)位置上作全排列，有 種排法。其中 3個(gè)女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只 對應(yīng)一種排法， 33A77A回目錄 （ 插入法 )先排甲乙丙三個(gè)人 ,共有 1種排法 ,再 把其余 4四人 依次 插入共有 方法 4*5*6*7 定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插 空模型處理 練習(xí)題 10人身高各不相等 ,排成前后排，每排 5人 ,要 求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 510C 回目錄 例 期中安排考試科目 9門 ,語文要在數(shù)學(xué)之前考 ,有多少種不同的安排順序 ? 解 不加任何限制條件 ,整個(gè)排法有 種 ,“語文安排在數(shù)學(xué)之前考 ” ,與 “ 數(shù)學(xué)安排在語文之前考 ” 的排法是相等的 ,所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種 . 99P9921P結(jié)論 對等法 :在有些題目中 ,它的限制條件的肯定與否定是對等的 ,各占全體的二分之一 .在求解中只要求出全體 ,就可以得到所求 . 分析 對于任何一個(gè)排列問題 ,就其中的兩個(gè)元素來講的話 ,他們的排列順序只有兩種情況 ,并且在整個(gè)排列中 ,他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的 ,因此要求其中的某一種情況 ,能夠得到全體 ,那么問題就可以解決了 .并且也避免了問題的復(fù)雜性 . 回目錄 分房問題 又名：住店法， 重排問題求冪策略 住店法 解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。 例 10 七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ） A. B. C D. 分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得 n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作 7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作 5名“客”，每個(gè)“客”有 7種住宿法，由乘法原理得 種。 注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是 呢？ 5757 75 57A57C75用分步計(jì)數(shù)原理看， 5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。 回目錄 重排問題求冪策略 例 .把 6名實(shí)習(xí)生分配到 7個(gè)車間實(shí)習(xí) ,共有 多少種不同的分法 解 :完成此事共分六步 :把第一名實(shí)習(xí)生分配 到車間有 種分法 . 7 把第二名實(shí)習(xí)生分配 到車間也有 7種分法， 依此類推 ,由分步計(jì) 數(shù)原理共有 種不同的排法 67允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究 對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排 各個(gè)元素的位置，一般地 n不同的元素沒有限 制地安排在 m個(gè)位置上的排列數(shù)為 種 n m 回目錄 1. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目 .如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 42 2. 某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人 ,他們 到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 （ ） 87練習(xí)題 回目錄 環(huán)排問題和 多排問題 環(huán)排問題線排策略 例 6. 5人圍桌而坐 ,共有多少種坐法 ? 解： 圍桌而坐與 坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人 A并從 此位置把圓形展成直線其余 4人共有 ____ 種排法即 44AA B C E D D A A B C E （ 51)！ 一般地 ,n個(gè)不同元素作圓形排列 ,共有 (n1)!種排法 .如果從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素作圓形排列共有 1 mnm A回目錄 練習(xí)題 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？ 60 多排問題直排策略 例 ,每排 4人 ,其中甲乙在 前排 ,丁在后排 ,共有多少排法 解 :8人排前后兩排 ,相當(dāng)于 8人坐 8把椅子 ,可以 把椅子排成一排 . 先在前 4個(gè)位置排甲乙兩 個(gè)特殊元素有 ____種 ,再排后 4個(gè)位置上的 特殊元素有 _____種 ,其余的 5人在 5個(gè)位置 上任意排列有 ____種 ,則共有 _________種 . 前排 后排 24A14A55A24A 55A14A一般地 ,元素分成多排的排列問題 ,可歸結(jié)為一排考慮 ,再分段研究 . 回目錄 有兩排座位，前排 11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3個(gè)座位不能坐，并且這 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 ______ 346 練習(xí)題 回目錄 小集團(tuán)問題 小集團(tuán)問題先整體局部策略 例 1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾 1,５在兩個(gè)奇數(shù)之 間 ,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？ 解：把１ ,５ ,２ ,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì) 共有 ____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有 _______種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有 _______種排法 . 22A2222AA2222AA22A3 1524 小集團(tuán) 小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。 回目錄 １ .計(jì)劃展出 10幅不同的畫 ,其中 1幅水彩畫 ,４ 幅油畫 ,５幅國畫 , 排成一行陳列 ,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩 端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 _______ 2. 5男生和５女生站成一排照像 ,男生相鄰 ,女 生也相鄰的排法有 _______種 2 5 52 5 5A A A2 5 42 5 4A A A回目錄 元素相同問題隔板策略 應(yīng)用背景：相同元素的名額分配問題 不定方程的正整數(shù)解問題 隔板法的使用特征： 相同的元素分成若干部分，每部分至少一個(gè) 元素相同問題隔板策略 例 .有 10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給 7個(gè)班，每 班至少一個(gè) ,有多少種分配方案？ 解：因?yàn)?10個(gè)名額沒有差別，把它們排成 一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。 在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板， 可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個(gè) 班級(jí)，每一種插板方法對應(yīng)一種分法 共有 ___________種分法。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 69C將 n個(gè)相同的元素分成 m份（ n， m為正整數(shù)） ,每份至少一個(gè)元素 ,可以用 m1塊隔板，插入 n個(gè)元素排成一排的 n1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為 11mnC??回目錄 例 高二年級(jí) 8個(gè)班 ,組織一個(gè) 12個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì) ,每班要求至少 1人 ,名額分配方案有多少種 ? 解 此題可以轉(zhuǎn)化為 :將 12個(gè)相同的白球分成 8份 ,有多少種不同的分法問題 ,因此須把這 12個(gè)白球排成一排 ,在 11個(gè)空檔中放上 7個(gè)相同的隔板 ,每個(gè)空檔最多放一個(gè) ,即可將白球分成 8份 ,顯然有 種不同的放法 ,所以名額分配方案有 種 . 711C711C結(jié)