排列組合著色問題(編輯修改稿)
2025-04-21 02:36 本頁面
【文章內容簡介】 ：如圖，把一個圓分成個扇形，每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？⑤解：設分成n個扇形時染色方法為種（1） 當n=2時、有=12種，即=12（2） 當分成n個扇形，如圖，與不同色，與 不同色，與不同色，共有種染色方法， 但由于與鄰，所以應排除與同色的情形；與同色時，可把、 看成一個扇形，與前個扇形加在一起為個扇形，此時有種染色法，故有如下遞推關系： 二、 點的涂色問題方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論，（2）根據相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉化成區(qū)域涂色問題。例將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是多少？解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。（1） 若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。（2） 若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。（3） 若恰用五種顏色染色，有種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數為60+240+120=420種。 解法二：設想染色按S—A—B—C—D的順序進行，對S、A、B染色，有種染色方法。 由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數，故分類討論： C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應與A
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