【文章內(nèi)容簡介】 ,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)的個數(shù)共有（）．A．210B．300C．464D．600典型例題十四例14 用1,2,3,4,5，這五個數(shù)字，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）． A．24個B．30個C．40個D．60個典型例題十五1238例15(1)計算A1+2A2+3A3+L+8A8．(2)求Sn=1!+2!+3!+L+n!(n179。10)的個位數(shù)字．典型例題十六例16 用0、組成無重復數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個5共六個數(shù)字，無重復數(shù)字的3位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？典型例題十七例17 一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相鄰，另一個空位與2個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？/ 1jiangshan整理 典型例題分析分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個位數(shù)字只能是0、從限制條件入手，可劃分如下：如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是 8的四位偶數(shù)（這是因為零不能放在千位數(shù)上）．由此解法一與二．如果從千位數(shù)入手．四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是9和千位數(shù)是8兩類，由此得解法三．如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四．解法1：當個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有A93個；當個位上在“8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一112A8A8（個）個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有A4．∴ 沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有3112A9+A4A8A8=504+1792=2296個．解法2：當個位數(shù)上排“0”時，同解一有A9個；當個位數(shù)上排8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：A4(A9A8)個 1323∴沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有3132A9+A4(A9A8)=504+1792=2296個．解法3：千位數(shù)上從9中任選一個，個位數(shù)上從0、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有2A5A5A8個干位上從8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有A4A4A8個 112∴ 沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有112112A5A5A8+A4A4A8=2296個．解法4：將沒有重復數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)．43沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有A10A9個．132其中四位奇數(shù)有A5(A9A8)個/ 14jiangshan整理 ∴ 沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)有A10A9A5(A9A8)=10180。A9A95A9+5A8 431323332=4A9+5A8 =36A8+5A82232=41A82=2296個說明：這是典型的簡單具有限制條件的排列問題，上述四種解法是基本、常見的解法、要認真體會每種解法的實質(zhì)，掌握其解答方法，以期靈活運用．解：（1）（捆綁法）因為三個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同五個男生合一起共有六個元素，然成一排有A66種不同排法．對于其中的每一種排法，三個女生之間又都有A33對種不同的排法，因此共有A66A33=4320種不同的排法．（2）（插空法）要保證女生全分開，可先把五個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔．這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側的兩個位置，共有六個位置，再把三個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于五個男生排成一排有A5種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位353置中選出三個來讓三個女生插入都有A6種方法，因此共有A5A6=14400種不同的排法．5（3）解法1：（位置分析法）因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的226個，有A5種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A6種排法，所以共有A5A6=14400種不同的排法． 26解法2：（間接法）3個女生和5個男生排成一排共有A8種不同的排法，從中扣除女生1717排在首位的A3A7種排法和女生排在末位的A3A7種排法，但這樣兩端都是女生的排法在8扣除女生排在首位的情況時被扣去一次，在扣除女生排在未位的情況時又被扣去一次，所以26還需加一次回來，由于兩端都是女生有A3A6種不同的排法，所以共有A82A3A7+A3A6=1440種不同的排法．0 81726解法3：（元素分析法）從中間6個位置中挑選出3個來讓3個女生排入，有A6種不同的排法，對于其中的任意一種排活，其余5個位置又都有A5種不同的排法，所以共有A6A5=14400種不同的排法，5 / 1jiangshan整理 3553（4）解法1：因為只要求兩端不都排女生，所以如果首位排了男生，則未位就不再受171條件限制了，這樣可有A5A7種不同的排法；如果首位排女生，有A3種排法，這時末位就1只能排男生，有A5種排法，首末兩端任意排定一種情況后，其余6位都有A66種不同的排法，11617116這樣可有A3 A5A6種不同排法．因此共有A5A7+A3A5A6=36000種不同的排法．解法2：3個女生和5個男生排成一排有A88種排法，從中扣去兩端都是女生排法A32A66種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有A88A32A66=36000種不同的排法．說明：解決排列、組合（下面將學到，由于規(guī)律相同，順便提及，以下遇到也同樣處理）應用問題最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．若以位置為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置，有兩個以上約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時要兼顧其它條件．若以元素為主，需先滿足特殊元素要求再處理其它的元素．間接法有的也稱做排除法或排異法，有時用這種方法解決問題來得簡單、明快．捆綁法、插入法對于有的問題確是適用的好方法，要認真搞清在什么條件下使用．解：（1）先排歌唱節(jié)目有A55種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個454放入舞蹈節(jié)目，共有A6中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：A5A6＝43200.（2）先排舞蹈節(jié)目有A44中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供55個歌唱節(jié)目放入。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A44A5＝2880種方法。說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰情況。如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有A5，再排舞蹈節(jié)目有A6，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。54分析與解法1：6六門課總的排法是A566，其中不符合要求的可分為：體育排在5第一書有A5種排法，如圖中Ⅰ；數(shù)學排在最后一節(jié)有A5種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種排法，都包括體育排在第一書數(shù)學排在最后一節(jié)，如圖中Ⅲ，這種情況有A4種排法，因此符合條件的排法應是：54A62A5+A4=504（種）． 6 / 14jiangshan整理分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況：（1）體育、數(shù)學既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有A42A44種；4（2）數(shù)學排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法A4A4種；（3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學不排在第一節(jié)，有排法A4A4種；（4）數(shù)學排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法A44這四類排法并列，不重復也不遺漏，故總的排法有：1414A42A44+A4． A4+A4A4=504（種）分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況：（1）體育，數(shù)學既不在最后也不在開頭一節(jié)，有A42=12種排法；（2）數(shù)學排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法；（3）體育在最后一書，數(shù)學木在第一節(jié)有4種排法；（4）數(shù)學在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法．上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種A44，故總排法數(shù)為21A44=504（種）．下面再提出一個問題，請予解答．問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法．請讀者完成此題．說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法．分析：可以把3輛車看成排了順序的三個空：，然后把3名司機和3名售票員分別填入．因此可認為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題．3解：分兩步完成．第一步，把3名司機安排到3輛車中，有A3=6種安排方法；第二步3把3名售票員安排到3輛車中，有A3=6種安排方法．故搭配方案共有A3A3=36種． 33說明：許多復雜的排列問題，不可能一步就能完成．而應分解開來考慮：即經(jīng)適當?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，應用分類計?shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決．在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂．分析：填寫學校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學校的兩個專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)．因此這是一個排列問題．/ 1jiangshan整理 解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報學校及其順序，則在4所學校中選出3所并加排列，共有A43種不同的排法；第二步，從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有A32A32A32種．綜合以上兩步，由分步計數(shù)3222原理得不同的填表方法有：A4A3A3A3=5184種．說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關，有時題中并未直接點明，需要根據(jù)實際情景自己判斷，特別是學習了后面的“組合”之后這一點尤其重要．“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合．另外，較復雜的事件應分解開考慮．分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有A37種排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A44種排法，故一共有A73A44=A77種排法．事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第4~7個位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是A77，相當于7個人的全排列．(2)優(yōu)先安排甲、乙．(3)用“捆綁法”．(4)用“插空法”．347解：(1)A7A4=A7=5040種．1(2)第一步安排甲，有A3種排法；第二步安排乙，有A4種排法；第三步余下的5人排在15剩下的5個位置上，有A5種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有A3A4A5=1440種． 115(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有A5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有A3種排法．由分步計53數(shù)原理得，共有A5A3=720種排法． 53(4)第一步，4名男生全排列，有A4種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名3男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有A5種插入方法．由分步計數(shù)原理得，443符合條件的排法共有：A4A5=1440種．說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進行全排列．(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．/ 1jiangshan整理分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“2”，當它位于個位時，即形如的數(shù)共有A42個（從當這些數(shù)相加時，6四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空）的數(shù)也有A42，那么當這些數(shù)由“2”所產(chǎn)生的和是A422．當2位于十位時，即形如相加時，由“2”產(chǎn)生的和應是A42210．當2位于面位時，可同理分析．然后再依次分析6的情況．解：形如的數(shù)共有A42個，當這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A422；形如的數(shù)也有A42的數(shù)也有A42個，當這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A42210；形如個，當這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和應是A422100．這樣在所有三位數(shù)的和中，由“2”22產(chǎn)生的和是A422111．同理由6產(chǎn)生的和分別是A43111，A44111，A45111，A46111，因此所有三位數(shù)的和是A4111(2+3+4+5+6)=26640． 222說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決．如“由1,4,5,x四個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，求數(shù)x”．本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了A44=24次，故有24180。(1+4+5+x)=288，得x=2．解：(1)A(3)原式=215=15180。14=210；6(2)A6=6!=6180。5180。4180。3180。2180。1=720。(n1)!(nm)!(nm)!1(n1)!=(nm)!1(n1)!=1；(4)原式=(2!1)+(3!2!)+(4!3!)+L+[(n+1)!n!]=(n+1)!1； n1n!1(n1)!1n!(5)∵=，9 / 1jiangshan整理 ∴12!+23!+34!+L+n1n!13!=11!12!+12!13!+14!+L+1(n1)!1n!=11n!．說明：準確掌握好排列公式是順利進行計算的關鍵． 本題計算中靈活地用到下列各式：n!=n(n1)!；nn!=(n+1)!n!；n1n!=1(n1)!1n!；使問題解得簡單、快捷．解：A中很