【正文】 分析與解法2：根據(jù)要求，課程表安排可分為4種情況：（1）體育、數(shù)學(xué)既不排在第一節(jié)也不排在最后一節(jié)，這種排法有A42A44種；4（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)但體育不排在最后一節(jié)，有排法A4A4種；（3）體育排在最后一節(jié)但數(shù)學(xué)不排在第一節(jié)，有排法A4A4種；（4）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育排在最后一節(jié)，有排法A44這四類排法并列，不重復(fù)也不遺漏，故總的排法有：1414A42A44+A4． A4+A4A4=504（種）分析與解法3：根據(jù)要求，課表安排還可分下述4種情況：（1）體育，數(shù)學(xué)既不在最后也不在開頭一節(jié)，有A42=12種排法；（2）數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，體育不排在最后一節(jié)，有4種排法；（3）體育在最后一書，數(shù)學(xué)木在第一節(jié)有4種排法；（4）數(shù)學(xué)在第一節(jié)，體育在最后一節(jié)有1種排法．上述 21種排法確定以后，僅剩余下四門課程排法是種A44，故總排法數(shù)為21A44=504（種）．下面再提出一個問題，請予解答．問題：有6個人排隊，甲不在排頭，乙不在排尾，問并肩多少種不同的排法．請讀者完成此題．說明：解答排列、組合問題要注意一題多解的練習(xí)，不僅能提高解題能力，而且是檢驗所解答問題正確與否的行之有效的方法．分析：可以把3輛車看成排了順序的三個空：，然后把3名司機(jī)和3名售票員分別填入．因此可認(rèn)為事件分兩步完成，每一步都是一個排列問題．3解：分兩步完成．第一步，把3名司機(jī)安排到3輛車中，有A3=6種安排方法；第二步3把3名售票員安排到3輛車中，有A3=6種安排方法．故搭配方案共有A3A3=36種． 33說明：許多復(fù)雜的排列問題，不可能一步就能完成．而應(yīng)分解開來考慮：即經(jīng)適當(dāng)?shù)胤诸惓煞只蚍植街?，?yīng)用分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理原理去解決．在分類或分步時，要盡量把整個事件的安排過程考慮清楚，防止分類或分步的混亂．分析：填寫學(xué)校時是有順序的，因為這涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的問題；同一學(xué)校的兩個專業(yè)也有順序，要區(qū)分出第一專業(yè)和第二專業(yè)．因此這是一個排列問題．/ 1jiangshan整理 解：填表過程可分兩步．第一步，確定填報學(xué)校及其順序，則在4所學(xué)校中選出3所并加排列，共有A43種不同的排法；第二步，從每所院校的3個專業(yè)中選出2個專業(yè)并確定其順序，其中又包含三小步，因此總的排列數(shù)有A32A32A32種．綜合以上兩步，由分步計數(shù)3222原理得不同的填表方法有：A4A3A3A3=5184種．說明：要完成的事件與元素的排列順序是否有關(guān)，有時題中并未直接點明，需要根據(jù)實際情景自己判斷，特別是學(xué)習(xí)了后面的“組合”之后這一點尤其重要．“選而且排”（元素之間有順序要求）的是排列，“選而不排”（元素之間無順序要求）的是組合．另外，較復(fù)雜的事件應(yīng)分解開考慮．分析：(1)可分兩步完成：第一步，從7人中選出3人排在前排，有A37種排法；第二步，剩下的4人排在后排，有A44種排法，故一共有A73A44=A77種排法．事實上排兩排與排成一排一樣，只不過把第4~7個位子看成第二排而已，排法總數(shù)都是A77，相當(dāng)于7個人的全排列．(2)優(yōu)先安排甲、乙．(3)用“捆綁法”．(4)用“插空法”．347解：(1)A7A4=A7=5040種．1(2)第一步安排甲，有A3種排法；第二步安排乙，有A4種排法；第三步余下的5人排在15剩下的5個位置上，有A5種排法，由分步計數(shù)原理得，符合要求的排法共有A3A4A5=1440種． 115(3)第一步，將甲、乙、丙視為一個元素，有其余4個元素排成一排，即看成5個元素的全排列問題，有A5種排法；第二步，甲、乙、丙三人內(nèi)部全排列，有A3種排法．由分步計53數(shù)原理得，共有A5A3=720種排法． 53(4)第一步，4名男生全排列，有A4種排法；第二步，女生插空，即將3名女生插入4名3男生之間的5個空位，這樣可保證女生不相鄰，易知有A5種插入方法．由分步計數(shù)原理得，443符合條件的排法共有：A4A5=1440種．說明：(1)相鄰問題用“捆綁法”，即把若干個相鄰的特殊元素“捆綁”為一個“大元素”，與其他普通元素全排列；最后再“松綁”，將這些特殊元素進(jìn)行全排列．(2)不相鄰問題用“插空法”，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間．/ 1jiangshan整理分析：可以從每個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)來分析，例如“2”，當(dāng)它位于個位時，即形如的數(shù)共有A42個（從，當(dāng)這些數(shù)相加時，6四個數(shù)中選兩個填入前面的兩個空）的數(shù)也有A42，那么當(dāng)這些數(shù)由“2”所產(chǎn)生的和是A422．當(dāng)2位于十位時，即形如相加時，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A42210．當(dāng)2位于面位時，可同理分析．然后再依次分析6的情況．解：形如的數(shù)共有A42個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A422；形如的數(shù)也有A42的數(shù)也有A42個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和是A42210；形如個，當(dāng)這些數(shù)相加時，由“2”產(chǎn)生的和應(yīng)是A422100．這樣在所有三位數(shù)的和中，由“2”22產(chǎn)生的和是A422111．同理由6產(chǎn)生的和分別是A43111，A44111，A45111，A46111，因此所有三位數(shù)的和是A4111(2+3+4+5+6)=26640． 222說明：類似于這種求“數(shù)字之和”的問題都可以用分析數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)的辦法來解決．如“由1,4,5,x四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288，求數(shù)x”．本題的特殊性在于，由于是全排列，每個數(shù)字都要選用，故每個數(shù)字均出現(xiàn)了A44=24次，故有24180。否則，若先排個數(shù)較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數(shù)較多的元素有相鄰情況。所以歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的排法有：A44A5＝2880種方法。10)的個位數(shù)字．典型例題十六例16 用0、組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個5共六個數(shù)字，無重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？典型例題十七例17 一條長椅上有7個座位，4人坐，要求3個空位中，有2個空位相鄰，另一個空位與2個相鄰空位不相鄰，共有幾種坐法？/ 1jiangshan整理 典型例題分析分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個位數(shù)字只能是0、從限制條件入手，可劃分如下：如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是 8的四位偶數(shù)（這是因為零不能放在千位數(shù)上）．由此解法一與二．如果從千位數(shù)入手．四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是9和千位數(shù)是8兩類，由此得解法三．如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四．解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有A93個；當(dāng)個位上在“8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一112A8A8（個）個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有A4．∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有3112A9+A4A8A8=504+1792=2296個．解法2：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，同解一有A9個；當(dāng)個位數(shù)上排8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：A4(A9A8)個 1323∴沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有3132A9+A4(A9A8)=504+1792=2296個．解法3：千位數(shù)上從9中任選一個，個位數(shù)上從0、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有2A5A5A8個干位上從8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有A4A4A8個 112∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有112112A5A5A8+A4A4A8=2296個．解法4：將沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)字劃分為兩類：四位奇數(shù)和四位偶數(shù)．43沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A10A9個．132其中四位奇數(shù)有A5(A9A8)個/ 14jiangshan整理 ∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A10A9A5(A9A8)=10180。10種不同方法，所以，所有滿足條件的不同坐法種數(shù)為A7A510A4=480(種)．454544 13 / 13第二篇：排列組合典型例題+詳解典型例題一例1 用0到9這10 個數(shù)字．可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？典型例題二例2 三個女生和五個男生排成一排（1）如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？（2）如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？（3）如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？（4）如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？典型例題三例3 排一張有5個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單。3180。4180。A2=16(個)，如果用后四組，共有4180。4=32(個)，所有3位偶數(shù)的總數(shù)為：12+32=44(個)．(2)從0、5中取出和為3的倍數(shù)的三個數(shù)，分別有下列取法：(012)、(015)、(024)、(045)、(123)、(135)、(234)、(345)，前四組中有0，后四組中沒有0，用它們排成三位數(shù)，如果用前4組，共有4180。10)的個位數(shù)字與1!+2!+3!+4!的個位數(shù)字相同． 而1!+2!+3!+4!=33，∴Sn的個位數(shù)字為3．說明：對排列數(shù)公式特點的分析是我們解決此類問題的關(guān)鍵，比如：求證： n123n1+++L+=1，我們首先可抓等式右邊的 2!3!4!(n+1)!(n+1)!nn+11n+1111===，(n+1)!(n+1)!(n+1)!(n+1)!n!(n+1)!∴左邊=1111111++L+=1=右邊． 2!2!3!n!(n+1)!(n+1)!典型例題十六例16 用0、組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，(1)可以組成多少個5共六個數(shù)字，無重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)？(2)可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且被3整除的三位數(shù)？/ 1 分析：3位偶數(shù)要求個位是偶數(shù)且首位數(shù)字不能是0，由于個位用或者不用數(shù)字0，對確定首位數(shù)字有影響，所以需要就個位數(shù)字用0或者用一個自然數(shù)能被3整4進(jìn)行分類．除的條件是所有數(shù)字之和是3的倍數(shù)，本題可以先確定用哪三個數(shù)字，然后進(jìn)行排列，但要注意就用與不用數(shù)字0進(jìn)行分類．解：(1)就個位用0還是用4中任取兩4分成兩類，個位用0，其它兩位從數(shù)排列，共有A4=12(個)，個位用2或4，再確定首位，最后確定十位，共有22180。5時，乘積中出現(xiàn)5和2，積的個位數(shù)為0，在加法運算中可不考慮．解：(1)由nAn=(n+1)!n!∴原式=2!1!+3!2!+L+9!8!=9!1!=362879．(2)當(dāng)n179。=24個． 55解法4：利用選擇項判斷．/ 1 用15這5個數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有A5=60個．其中偶數(shù)少于奇數(shù)，因此偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于30個，四個選擇項所提供的答案中，只有A符合條件． ∴應(yīng)選A．3典型例題十五例15(1)計算A1+2A2+3A3+L+8A8．(2)求Sn=1!+2!+3!+L+n!(n179。1=720。3180。5180。(1+4+5+x)=288，得x=2． 4典型例題九例9 計算下列各題：m1nmAnA1nm(1)A；(2)A；(3)； n1An121566(4)1!+22!+33!+L+nn!(5)123n1+++L+ 2!3!4!n!解：(1)A15=15180。4545454 3 / 1 如本題（2）中，若先排歌唱節(jié)目有A5，再排舞蹈節(jié)目有A6，這樣排完之后，其中含有歌唱節(jié)目相鄰的情況，不符合間隔排列的要求。說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數(shù)較少的元素，再讓其余元素插空排列。（1）任何兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法有多少種？（2）歌唱節(jié)目與舞蹈節(jié)目間隔排列的方法有多少種？解：（1）先排歌唱節(jié)目有A5種，歌唱節(jié)目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節(jié)目，共有A6中方法，所以任兩個舞蹈節(jié)目不相鄰排法有：A5A6＝43200.（2）先排舞蹈節(jié)目有A4中方法，在舞蹈節(jié)目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節(jié)目放入。第一篇：排列組合典型例題典型例題一例1 用0到9這10 個數(shù)字．可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？分析：這一問題的限制條件是：①沒有重復(fù)數(shù)字；②數(shù)字“0”不能排在千位數(shù)上；③個位數(shù)字只能是0、從限制條件入手，可劃分如下：如果從個位數(shù)入手，四位偶數(shù)可分為：個位數(shù)是“0”的四位偶做，個位數(shù)是 8的四位偶數(shù)（這是因為零不能放在千位數(shù)上）．由此解法一與二．如果從千位數(shù)入手．四位偶數(shù)可分為：千位數(shù)是9和千位數(shù)是8兩類，由此得解法三．如果四位數(shù)劃分為四位奇數(shù)和四位偶數(shù)兩類，先求出四位個數(shù)的個數(shù)，用排除法，得解法四．解法1：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，千位，百位，十位上可以從余下的九個數(shù)字中任選3個來排列，故有A9個；當(dāng)個位上在“8”中任選一個來排，則千位上從余下的八個非零數(shù)字中任選一個，百位，十位上再從余下的八個數(shù)字中任選兩個來排，按乘法原理有A4A8A8（個）．∴ 沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有1123=2296A9+A4A8A8=504+1792個．解法2：當(dāng)個位數(shù)上排“0”時，同解一有A9個；當(dāng)個位數(shù)上排8中之一時，千位，百位，十位上可從余下9個數(shù)字中任選3個的排列數(shù)中減去千位數(shù)是“0”排列數(shù)得：13A4(A9A82)個33112∴沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有A9+A4(A9A8)=504+1792=2296個．解法3：千位數(shù)上從9中任選一個，個位數(shù)上從0、8中任選一個，百位，十位上從余下的八個數(shù)字中任選兩個作排列有A5A5A8個干位上從8中任選一個，個位數(shù)上從余下的四個偶數(shù)中任意選一個（包括0在內(nèi)），百位，十位從余下的八個數(shù)字中任意選兩個作排列，有1