【文章內(nèi)容簡介】 n+12 n+13 n+16河大附中校本課程 12 又可分段寫出結(jié)果：f(n)= 4k+1，(n=6k， k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈N*)． 2022 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題（一）及參考答案一、選擇題（本題滿分 36 分，每小題 6 分）1．使關(guān)于 的不等式 有解的實數(shù) k 的最大值是（ ）xkxx???3A． B． C． D．6?3?6解：令 ，則6,??xxy)(32)()32 ??實數(shù) k 的最大值為 選 D.????,][( yxx .62．空間四點 A、B、C、D 滿足 的取值BDACCDBA???則,9|,1|,7||（ ）A．只有一個 B．有二個 C．有四個 D．有無窮多個解：注意到 32+112=130=72+92，由于 ，則0?DA2= )(DCD??=AB2+BC2+CD2+2（ +222()BCABBA ??????= ，)BCA??? ))(2 DC???即 ， 只有一個值 0，故選 ??? DD??3．△ABC 內(nèi)接于單位圓，三個內(nèi)角 A、B、C 的平分線延 長后分別交此圓于 AB C 1，則 的值為（ ）sinsin2cos2co2co1????高中數(shù)學(xué)競賽講義 13 A．2 B．4 C．6 D．8解：如圖，連 BA1，則AA1=2sin(B+ )2cos()2sin() CBA????? )2cos(sco)2c2os CA????? ?,sii)(BC??同理 nsc1AB??,sinc1B?? ),sin(2o2o1 CA?原式= 選 A..sinsin)(2?CB4．如圖，ABCD— 為正方體，任作平面 a 與對DA??角線 AC′垂直，使得 a 與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為 S，周長為 l，則（ ）A．S 為定值， l 不為定值 B．S 不為定值，l 為定值C．S 與 l 均為定值 D．S 與 l 均不為定值解：將正方體切去兩個正三棱錐 A—A′BD 與 C′— 后，得到一個以平行平面CBD?A′BD 與 為上、下底面的幾何體 V，V 的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多BD?邊形 W 的每一條邊分別與 V 的底面上的一條邊平行，將 V 的側(cè)面沿棱 剪開，展A?平在一張平面上，得到一個 □ ，而多邊形 W 的周界展開后便成為一條與1B?平行的線段（如圖中 ） ，1A? 1E?顯然 ，故 l 為定值 .1E???當(dāng) E′位于 中點時，多邊形 W 為正六邊形，而當(dāng) E′移至 A′處時，W 為正三角B形，易知周長為定值 l 的正六邊形與正三角形面積分別為 ，故 S 不為定22364ll與值.選 B.5．方程 表示的曲線是 （ ）13cos23sin2i ????yxA．焦點在 軸上的橢圓 B．焦點在 軸上的雙曲線xC．焦點在 y 軸上的橢圓 D．焦點在 y 軸上的雙曲線河大附中校本課程 14 解：，)23cos()2cos(,2320,32 ??? ???????????即 ，sini又 ，0cs,0cs,os,2,0??方程表示的曲線是橢圓.）…（423sin(2si)3cs2()3sin(i ???????*） .4,2,02si,02 ??? ???????.(*),)43sin(??式?即 . 曲線表示焦點在 y 軸上的橢圓，選 ???6．記集合 T={0，1，2，3，4，5，6}，M= ，}4,321,|77{4321 ???iTaai將 M 中的元素按從大到小的順序排列，則第 2022 個數(shù)是 （ ）A． B．432767?43265C． D．01 7017?解：用 表示 k 位 p 進(jìn)制數(shù)，將集合 M 中的每個數(shù)乘以 74，得pka][21? },321,|]{[}4,321,|77{ 4321433 ?????????? iTaiTaMii，M′中的最大數(shù)為 [6666]7=[2400]10.在十進(jìn)制數(shù)中，從 2400 起從大到小順序排列的第 2022 個數(shù)是 2400－2022=396，而[396]10=[1104]7將此數(shù)除以 74，便得 M 中的數(shù) .故選 ?二、填空題（本題滿分 54 分，每小題 9 分）高中數(shù)學(xué)競賽講義 15 7．將關(guān)于 的多項式 表為關(guān)于 y 的多項式x 2022321)( xxxf ??????，其中 ，則029210)( yayayg??? 4?.6512022a?解：由題設(shè)知， 和式中的各項構(gòu)成首項為 1，公比為 的等比數(shù)列，由等比)(xf x?數(shù)列的求和公式，得： .)221???xf令 ，取 有5)4(),421???ygyx得 ,y 615)(220210 ???gaa?8．已知 是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，若 成(f 43)(??ff立，則 ??a或解：∵ 在（0，+∞ ）上定義，又)(xf，)1(314。087)412222 ???????? aaaa僅當(dāng) 或 時，1?3?.(*)在（0，+∞）上是減函數(shù)，)(xf?22?5,52??aa結(jié)合（*）知 .13??或9．設(shè) 、 、 滿足 ， 若對于任意???????20，則0)cos()cs()cos(, ????xxxR .34????解：設(shè) ，0)(,0)(, ???? ??fxfRf 知由河大附中校本課程 16 ,0)(,)(????ff即 ,1)cos()cs(,1coscs ?????????? .21)cs(o)()o(?????∵ ， ，??20?]34,2[,????又 .34.., ?????? ???????只 有另一方面，當(dāng) ，有 ，3?? Rx???,記 ，由于三點??x )34sin(),(co),2sin),3(co),sin( ????構(gòu)成單位圓 上正三角形的三個頂點，其中心位于原點，顯然有12?y)4cs()cs(????? .0)cos()cs()cs( ?????xxx10．如圖，四面體 DABC 的體積為 ，且滿足∠ACB=45176。，6AD+BC+ ，則 CD= .32?AC解： ，61)45sin1( ????? DABCVBD?即 又 ，??AC323??32??AD=BC= 時成立，這時 AB=1，AD⊥ 面 ABC，∴DC= .1?11．若正方形 ABCD 的一條邊在直線 上，另外兩個頂點在拋物線 ??xy 2xy?則該正方形面積的最小值為 80 .解：設(shè)正方形的邊 AB 在直線 上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標(biāo) C（高中數(shù)學(xué)競賽講義 17 ） 、D（ ） ，則 CD 所在直線 l 的方程 ，將直線 l 的方程與拋物線1,yx2,yx bxy??2方程聯(lián)立，得 .12,1?????bxb令正方形邊長為 a，則 ).1(20)(5)()( 122 ????bxy①在 上任取一點（6，－5） ，它到直線 的距離為 172??xy b??5|7|,a②①、② 聯(lián)立解得 ., 2min221 ????ab或12．如果自然數(shù) a 的各位數(shù)字之和等于 7，那么稱 a 為“吉祥數(shù)”，將所有“吉祥數(shù)”從小到大排成一列 .5,321 ?mma則若? 解：∵方程 的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為 而使xxk??? ,1kC??）的整數(shù)解個數(shù)為 現(xiàn)取 m=7，可知，k 位“吉祥數(shù)”的個數(shù)為(0,1?ixi ,12??mkCP（k）= .65?kC∵2022 是形如 2abc 的數(shù)中最小的一個“吉祥數(shù)”，且 P（1）= =1，P（2）6C= =7，67P（3）= =28，對于四位“吉祥數(shù)”1abc，其個數(shù)為滿足 a+b+c=6 的非負(fù)整數(shù)解個數(shù)，8C即 =28 ?∵2022 是第 1+7+28+28+1=65 個“吉祥數(shù)”，即 從而 n=65，5n=325..2056?a又 P（4）= ，而210)5(,84669??)(51??kP∴從大到小最后六個五位“吉祥數(shù)”依次是：70000，61000，60100，60010，60001，52022.∴第 325 個“吉祥數(shù)” 是 52022，即 .520ma河大附中校本課程 18 三、解答題（本題滿分 60 分，每小題 20 分）13．?dāng)?shù)列{ 滿足：}na .,236457,10 Nnaann ?????證明：（1）對任意 為正整數(shù)；（2）對任意 為完全平方mN,?1,??na數(shù).證明：（1）由題設(shè)得 且{ 嚴(yán)格單調(diào)遞增，將條件式變形得,51?a}n，3645722???mma兩邊平方整理得 ①0972121???nn ②2???nna①－②得 ??????????? 07,0)7)(( 1111 mnnnnn aaa? ③.7?由③ 式及 可知，對任意 為正整數(shù).……………………10 分5,10amN,??。?）將① 兩邊配方，得 。 211121 )3(),(9)( nnnn aaa???????④記 ???? ???? 211321 )[()())(,3()( nnnnn faaf 由 ,079]3121 ???nnn從而 ④)()()aff??? ?,1)3(2是完全平方數(shù).……………………20 分1??ma14．將編號為 1，2，…，9 的九個小球隨機(jī)