20xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析蘇教版11(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 0|=234000|cos(120176。2000)|=34000．故log3|(z1)2000+(z2)2000|=4000．6．設(shè)集合M={1，2，…，1000}，現(xiàn)對M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大數(shù)與最小數(shù)的和．那么，所有這樣的αX的算術(shù)平均值為 ．解：對于任一整數(shù)n(0n≤1000)，以n為最大數(shù)的集合有2n－1個(gè)，以n為最小數(shù)的集合有21000－n個(gè)，以1001－n為最小數(shù)的集合則有2n－1個(gè)，以1001－n為最大數(shù)的集合則有21000－n個(gè)．故n與1001－n都出現(xiàn)2n－1+21000－n次．∴ 所有αx的和=1001(2n－1+21000－n) =1001(21000－1)．∴ 所求平均值=1001．又解：對于任一組子集A={b1，…，bk}，b1b2…bk(1≤k1000)，取子集A162。={1001－b1，…，1001－bk}，若A≠A162。，則此二子集最大數(shù)與最小數(shù)之和=b1+bk+1001－b1+1001－bk=2002，平均數(shù)為1001．若A=A162。，則A本身的=1001．由于每一子集均可配對．故所求算術(shù)平均數(shù)為1001．三．設(shè)正三棱錐P—ABC的高為PO，M為PO的中點(diǎn)，過AM作與棱BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩部分，試求此兩部分的體積比．解：M是PO中點(diǎn)，延長AO與BC交于點(diǎn)D，則D為BC中點(diǎn)，連PD，由于AM在平面PAD內(nèi)，故延長AM與PD相交，設(shè)交點(diǎn)為F．題中截面與面PBC交于過F的直線GH，G、H分別在PB、PC上．由于BC∥截面AGH，∴GH∥BC．在面PAD中，△POD被直線AF截，故=1，但=1，=，∴=．∴ =，∴=222。=．而截面分此三棱錐所成兩部分可看成是有頂點(diǎn)A的兩個(gè)棱錐A—PGH及A—HGBC．故二者體積比=4∶21．四．設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且PQ為過F的弦．已知|OF|=a，|PQ|=B．求△OPQ的面積．解：(用極坐標(biāo))設(shè)拋物線方程為ρ=．設(shè)PQ與極徑所成角為α，則=B．所求面積S=|OF||PQ|sinα=ab2=a．五．已知0a1，x2+y=0，求證： loga(ax+ay)≤loga2+．解：由于0a1，即證ax+ay≥2a．由于ax+ay≥2a．而x+y=x－x2=x(1－x)≤．于是a≥a．∴ ax+ay≥2a≥2a．故證．第二試一．設(shè)S={1，2，…，n}，A為至少含有兩項(xiàng)的公差為正的等差數(shù)列，其項(xiàng)都在S中，且添加S的其他元素于A后不能構(gòu)成與A有相同公差的等差數(shù)列．求這種A的個(gè)數(shù)(這里只有兩項(xiàng)的數(shù)列也看作等差數(shù)列)．解：易知公差1≤d≤n－1．設(shè)n=2k，d=1或d=n－1時(shí)，這樣的A只有1個(gè)，d=2或d=n－2時(shí)，這樣的數(shù)列只有2個(gè)，d=3或n－3時(shí)這樣的數(shù)列只有3個(gè)，……，d=k－1或k+1時(shí)，這樣的數(shù)列有k－1個(gè)，d=k時(shí)，這樣的數(shù)列有k個(gè)．∴ 這樣的數(shù)列共有(1+2+…+k)2－k=k2=n2個(gè)．當(dāng)n=2k+1時(shí)，這樣的數(shù)列有(1+2+…+k)2=k(k+1)= (n2－1)個(gè)．兩種情況可以合并為：這樣的A共有－ 個(gè)(或[n2]個(gè))．解法二：對于k=[]，這樣的數(shù)列A必有連續(xù)兩項(xiàng)，一項(xiàng)在{1，2，…，k}中，一在{k++2，…，n}中，反之，在此兩集合中各取一數(shù)，可以其差為公差構(gòu)成一個(gè)A，于是共有這樣的數(shù)列當(dāng)n=2k時(shí)，這樣的A的個(gè)數(shù)為k2=n2個(gè)；當(dāng)n=2k+1時(shí)，這樣的A的個(gè)數(shù)為k(k+1)= (n2－1)個(gè)．∴ 這樣的數(shù)列有[n2]個(gè)．解法一也可這樣寫： 設(shè)A的公差為d，則1≤d≤n－1．⑴ 若n為偶數(shù)，則當(dāng)1≤d≤時(shí)，公差為d的等差數(shù)列A有d個(gè)；當(dāng)d≤n－1時(shí)，公差為d的等差數(shù)列A有n－d個(gè)．故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這樣的A共有(1+2+…+)+[1+2+…+(n－－1)]= n2個(gè)．⑵ 若n為奇數(shù)，則當(dāng)1≤d≤時(shí)，公差為d的等差數(shù)列A有d個(gè)；當(dāng)≤d≤n－1時(shí)，公差為d的等差數(shù)列A有n－
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