20xx年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析蘇教版16(編輯修改稿)
2025-01-25 05:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ) 4++ (B) 4－+ (C) 1－+ (D)以上答案都不對解：g(x)= x+=x+x+≥3=．當且僅當x=即x=時g(x)取得最小值．∴－=，=，222。p=－2，q=+．由于－12－．故在[1．2]上f(x)的最大值為f(2)=4－+．故選B．6． 高為8的圓臺內(nèi)有一個半徑為2 的球O1，球心O1在圓臺的軸上，球O1與圓臺的上底面、側面都相切，圓臺內(nèi)可再放入一個半徑為3的球O2，使得球O2與球O圓臺的下底面及側面都只有一個公共點，除球O2，圓臺內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個數(shù)是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：O2與下底距離=3，與O1距離=2+3=5，與軸距離=4，問題轉化為在以4為半徑的圓周上，能放幾個距離為6的點？右圖中，由sin∠O2HC=3/40．707，即∠O2HO390176。，即此圓上還可再放下2個滿足要求的點．故選B．二、填空題(本題滿分54分，每小題9分)1． 集合{x|－1≤log10－，x∈N*}的真子集的個數(shù)是 ．解 由已知，得logx10≤1222。1≤lgx2222。10≤x100．故該集合有90個元素．其真子集有2901個．2． 復平面上，非零復數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實部為零，z1的輻角主值為，則z2=_______．解：z1滿足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+isin(－)．設z2的輻角為θ(0θπ)，則z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，若其實部為0，則θ－=，于是θ=．z2=－+i．3． 曲線C的極坐標方程是ρ=1+cosθ，點A的極坐標是(2,0)，曲線C在它所在的平面內(nèi)繞A旋轉一周，則它掃過的圖形的面積是_______。解：只要考慮|AP|最長與最短時所在線段掃過的面積即可．設P(1+cosθ，θ)，則|AP|2=22+(1+cosθ)2－22(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5=－3(cosθ+)2+≤．且顯然|AP|2能取遍[0，]內(nèi)的一切值，故所求面積=π．4． 已知將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長為2，則最遠的兩頂點間的距離是________。解：該六面體的棱只有兩種，設原正三棱錐的底面邊長為2a，側棱為b．取CD中點G，則AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，則∠BFD為二面角B—AC—D的平面角．AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2．由cos∠AGE=cos∠BFD，得=．∴ =222。9b2=16a2，222。b=a，從而b=2，2a=3．AE=2．即最遠的兩個頂點距離為3．5． 從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的六個面染色，每面恰染一種顏色，每兩個具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染
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