【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 12圖1，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，記小球半徑為，作平面//平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，垂足為的中心．因，故，從而．記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則．考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如答12圖2．記正四面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)作于．答12圖2 因，有，故小三角形的邊長(zhǎng)．小球與面不能接觸到的部分的面積為（如答12圖2中陰影部分）．　　　　　　　　　 又，所以．由對(duì)稱(chēng)性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．三、解答題（本題滿(mǎn)分60分，每小題20分）答13圖13．已知函數(shù)的圖像與直線 有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為，求證： ?。甗證] 的圖象與直線 的三個(gè)交點(diǎn)如答13圖所示，且在內(nèi)相切，其切點(diǎn)為，．…5分 由于，所以，即．…10分因此 …15分 ．　 …20分14．解不等式:．[解法一] 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于．　　即　　　　　　 ．　　…5分分組分解　　　 ，　　　　　　　　 　　…10分所以　　　，　　　　　． …15分所以，即．故原不等式解集為． …20分[解法二] 由，且在上為增函數(shù)，故原不等式等價(jià)于．　　　　…5分即， ， …10分令，則不等式為， 顯然在上為增函數(shù)，由此上面不等式等價(jià)于 ， …15分即，解得　故原不等式解集為． …20分答15圖15．如題15圖，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最小值．[解] 設(shè)，不妨設(shè)．直線的方程:，化簡(jiǎn)得 ．又圓心到的距離為1， ， …5分故，易知，上式化簡(jiǎn)得， 同理有． …10分所以，則．因是拋物線上的點(diǎn)，有，則 ，． …15分所以．當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)．因此的最小值為8． …20分2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試（A卷）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，10分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次．一、（本題滿(mǎn)分50分）如題一圖，給定凸四邊形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，令．（Ⅰ）求證：當(dāng)達(dá)到最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓；（Ⅱ）設(shè)是外接圓的上一點(diǎn)，滿(mǎn)足：，，又是的切線，求的最小值．答一圖1[解法一] （Ⅰ）如答一圖1，由托勒密不等式，對(duì)平面上的任意點(diǎn)，有 ．因此 ．因?yàn)樯厦娌坏仁疆?dāng)且僅當(dāng)順次共圓時(shí)取等號(hào)，因此當(dāng)且僅當(dāng)在的外接圓且在上時(shí)，． …10分又因，此不等式當(dāng)且僅當(dāng)共線且在上時(shí)取等號(hào)．因此當(dāng)且僅當(dāng)為的外接圓與的交點(diǎn)時(shí)，取最小值．故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)，四點(diǎn)共圓． …20分（Ⅱ）記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得，　　　　…30分解得或（舍去），故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得，………40分從而，為等腰直角三角形．因，則．又也是等腰直角三角形，故，．故． …50分[解法二] （Ⅰ）如答一圖2，連接交的外接圓于點(diǎn)（因?yàn)樵趫A外，故在上）．答一圖2過(guò)分別作的垂線，兩兩相交得，易知在內(nèi)，從而在內(nèi)，記之三內(nèi)角分別為，則，又因，得，同理有，所以∽． …10分設(shè)，，則對(duì)平面上任意點(diǎn)，有 ，從而 ．由點(diǎn)的任意性，知點(diǎn)是使達(dá)最小值的點(diǎn)．由點(diǎn)在上，故四點(diǎn)共圓． 　…20分（Ⅱ）由（Ⅰ），的最小值 ，記，則，由正弦定理有，從而，即，所以，整理得，　　　　　　　　　…30分解得或（舍去）， 故，． 由已知=,有，即，整理得，故，可得，…40分所以，為等腰直角三角形，，因?yàn)?，點(diǎn)在⊙上，所以為矩形，故，所以． …50分[解法三] （Ⅰ）引進(jìn)復(fù)平面，仍用等代表所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．由三角形不等式，對(duì)于復(fù)數(shù)，有 ，當(dāng)且僅當(dāng)與（復(fù)向量）同向時(shí)取等號(hào)．有 ，所以 （1） ，從而 ． （2） 　…10分（1）式取等號(hào)的條件是 復(fù)數(shù) 與同向，故存在實(shí)數(shù)，使得 ， 　　　 ，所以 ，向量旋轉(zhuǎn)到所成的角等于旋轉(zhuǎn)到所成的角，從而四點(diǎn)共圓．（2）式取等號(hào)的條件顯然為共線且在上．故當(dāng)達(dá)最小值時(shí)點(diǎn)在之外接圓上，四點(diǎn)共圓． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．以下同解法一．二、（本題滿(mǎn)分50分）設(shè)是周期函數(shù)，和1是的周期且．證明：（Ⅰ）若為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù)，使是的周期；（Ⅱ）若為無(wú)理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無(wú)理數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足 ，且每個(gè)都是的周期．[證]?。á瘢┤羰怯欣頂?shù)，則存在正整數(shù)使得且，從而存在整數(shù)，使得 ．于是是的周期．　　　　　　　　　　　…10分又因，從而．設(shè)是的素因子，則，從而 　　 是的周期． 　　　　　　　　　　　…20分（Ⅱ）若是無(wú)理數(shù)，令 ，則，且是無(wú)理數(shù)，令 ，…… ， ………30分由數(shù)學(xué)歸納法易知均為無(wú)理數(shù)且．又，故，即．因此是遞減數(shù)列． …40分最后證：每個(gè)是的周期．事實(shí)上，因1和是的周期，故亦是的周期．假設(shè)是的周期，則也是的周期．由數(shù)學(xué)歸納法，已證得均是的周期． …50分三、（本題滿(mǎn)分50分）設(shè)，．證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在數(shù)列滿(mǎn)足以下條件：（?。?，；（ⅱ）存在；（ⅲ），． [證] 必要性：假設(shè)存在滿(mǎn)足（?。?，（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化為 ， 其中．將上式從第1項(xiàng)加到第項(xiàng)，并注意到得 ． …10分由（ⅱ）可設(shè)，將上式取極限得 ，因此． …20分充分性：假設(shè)．定義多項(xiàng)式函數(shù)如下： ，則在[0,1]上是遞增函數(shù)，且，．因此方程在[0,1]內(nèi)有唯一的根，且，即．…30分下取數(shù)列為，則明顯地滿(mǎn)足題設(shè)條件