【正文】 下面確定n與m、k的關系。如圖2，只要取出有標號位置的棋子，則余下的棋子不可能五子連珠。第2行必在每行取出一個，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)這些方格。解：最少要取出11個棋子，才可能滿足要求。B，故∠PBC+∠ACB=(90176。由對稱性，有∠AB39。即∠ABP=∠ACP。?∠BFO1=90176。因為AF過P作PE⊥AC，垂足為E，作PF⊥AB，垂足為F。容易驗證fi(x)，i=1，2，3，4是偶函數(shù)，且對任意的x∈R，fi(x+π)=fi(x)，i=1，2，3，4。同理可求得直線l2的方程為…(5)。證明：由于，因此，于是，對任意的正整數(shù)n≥2，有，即an+1an。由于q是小于1的正有理數(shù)，所以，即5≤m≤13且是某個有理數(shù)的平方，由此可知。同理，所以，故弧EF的長為，而這樣的弧共有三條。解：如圖，設AC與BD交于F點，則|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|，|PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，當動點P與F點重合時，|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取到最小值。當r1=r2且r1+r22c時，圓P的圓心軌跡如選項B；當02c|r1?r2|時，圓P的圓心軌跡如選項C；當r1≠r2且r1+r22c時，圓P的圓心軌跡如選項D。若實數(shù)a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1對任意實數(shù)x恒成立，則的值等于（ C ）A. B. C. ?1 D. 1解：令c=π，則對任意的x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取，c=π，則對任意的x∈R，af(x)+bf(x?c)=1，由此得。一般地，對k∈R，令，則原不等式為，由此易知原不等式等價于，對任意的k∈R成立。20072009全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題解答河南大學附中目錄 2009年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準……………1 2009年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標準……………6 2008年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準……………10 2008年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標準……………212007年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準……………26 2007年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標準……………32 高中數(shù)學競賽講義2009年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標準說明： 1．評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準，填空題只設7分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中至少4分為一個檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空（共8小題，每小題7分，共56分）1． 若函數(shù)且，則 ．【答案】【解析】 ，……，．故．2． 已知直線和圓，點在直線上，為圓上兩點，在中，過圓心，則點橫坐標范圍為 ．【答案】【解析】 設，則圓心到直線的距離，由直線與圓相交，得．解得．3． 在坐標平面上有兩個區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域，它由不等式所確定，的取值范圍是，則和的公共面積是函數(shù) ．【答案】【解析】 由題意知 4． 使不等式對一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為 ．【答案】【解析】 設．顯然單調遞減，則由的最大值，可得．5． 橢圓上任意兩點，若，則乘積的最小值為 ．【答案】【解析】 設，．由，在橢圓上，有 ① ②得．于是當時，達到最小值．6． 若方程僅有一個實根，那么的取值范圍是 ．【答案】 或【解析】 當且僅當 ① ② ③對③由求根公式得， ④或．(ⅰ)當時，由③得，所以，同為負根．又由④知，所以原方程有一個解．(ⅱ)當時，原方程有一個解．(ⅲ)當時，由③得，所以，同為正根，且，不合題意，舍去．綜上可得或為所求．7． 一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是 （可以用指數(shù)表示）【答案】【解析】 易知：(ⅰ)該數(shù)表共有100行；(ⅱ)每一行構成一個等差數(shù)列，且公差依次為，…，(ⅲ)為所求． 設第行的第一個數(shù)為，則=……故．8． 某車站每天，都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間是相互獨立的，其規(guī)律為到站時刻概率一旅客到車站，則它候車時間的數(shù)學期望為 （精確到分）．【答案】 27【解析】 旅客候車的分布列為候車時間（分）1030507090概率候車時間的數(shù)學期望為二、解答題1． （本小題滿分14分）設直線（其中，為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．【解析】 由消去化簡整理得設，則 ① ………4分由消去化簡整理得設，則 ② …………8分因為，所以，此時．由得．所以或．由上式解得或．當時，由①和②得．因是整數(shù)，所以的值為，．當，由①和②得．因是整數(shù)，所以，．于是滿足條件的直線共有9條．………14分2． （本小題15分）已知，是實數(shù)，方程有兩個實根，數(shù)列滿足，(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式（用，表示）；(Ⅱ)若，求的前項和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韋達定理知，又，所以，整理得令，則．所以是公比為的等比數(shù)列．數(shù)列的首項為：．所以，即．所以．①當時，變?yōu)椋淼茫?，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項為．所以．于是數(shù)列的通項公式為；……………………………5分②當時， ．整理得，．所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項為．所以．于是數(shù)列的通項公式為．………………………………10分(Ⅱ)若，則，此時．由第(Ⅰ)步的結果得，數(shù)列的通項公式為，所以，的前項和為以上兩式相減，整理得所以．………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韋達定理知，又，所以，．特征方程的兩個根為，．①當時，通項由，得， 解得．故 ．…………5分②當時，通項．由，得 ， 解得，．故 ．………………………………………10分(Ⅱ)同方法一．3． （本小題滿分15分）求函數(shù)的最大和最小值．【解析】 當時等號成立．故的最小值為．……………………5分又由柯西不等式得 所以． …………………………………………………………10分由柯西不等式等號成立的條件，得，解得．故當時等號成立．因此的最大值為．……………………………………15分2009年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題參考答案及評分標準（A卷）說明：1．評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，10分為一個